一.前言

在做神经网络的训练学习过程中，一开始，经常是喜欢用二次代价函数来做损失函数，因为比较通俗易懂，后面在大部分的项目实践中却很少用到二次代价函数作为损失函数，而是用交叉熵作为损失函数。为什么？一直在思考这个问题，这两者有什么区别，那个更好？下面通过数学的角度来解释下。

思考：我们希望我们损失函数能够做到，当我们预测的值跟目标值越远时，在修改参数时候，减去一个更大的值，做到更加快速的下降。

二.两种代价函数的表达式

二次代价损失函数：

交叉熵损失函数：

针对二分类来说，其中：

ai第Xi个样本经过前向传播之后到达最后一个节点的值

三.收敛速度比较

两个函数反向传播梯度比较

1.二次代价函数

为了方便只取一个样本，那么损失为:

那么w,b的梯度为：

2.交叉熵

为了方便只取一个样本,损失为：

计算w,b的梯度：

分析和结论

由此可看出，在做后向传播时

1.对于square mean在更新w，b时候，w,b的梯度跟激活函数的梯度成正比，激活函数梯度越大，w,b调整就越快，训练收敛就越快，但是Simoid函数在值非常高时候，梯度是很小的，比较平缓。

2.对于cross entropy在更新w,b时候，w,b的梯度跟激活函数的梯度没有关系了，bz已经表抵消掉了，其中bz-y表示的是预测值跟实际值差距，如果差距越大，那么w,b调整就越快，收敛就越快。

四.两个损失函数的函数图像

square mean：

交叉熵：

(这两个图是从吴恩达课程中截取出来的)可以看出，二次代价函数存在很多局部最小点，而交叉熵就不会。

附录：

simoid函数的导数：

参考：

1.https://blog.csdn.net/qikaihuting/article/details/78518263

2.https://stackoverflow.com/questions/36515202/why-is-the-cross-entropy-method-preferred-over-mean-squared-error-in-what-cases

原文地址：https://www.cnblogs.com/aijianiula/p/9651879.html