前言
在学会分块之前，觉得分块是一个很深奥的东西，很玄学。但其实分块的作用也很广泛，也非常简单，在这里分享一下。
分块的定义与分块的基本性质
分块，顾名思义，就是将一个数组分成一些小块。
而分块有一个基本性质，就是块的大小不会影响答案，只对时间有一定影响。
一般有以下三种分块方式：
No.1: 固定长度分块。
No.2 : 长度为sqrt(n)
No.3 : 每块随机长度。
常用的话一般选择No.1或No.2。
分块
如果选择No.2的分块方式的话，我们定义以下几个变量：
1 block = (int)sqrt(n) //块的长度 2 3 sum = n / block; 4 if (n % block) sum++;//块数 5 6 p[i] = (i - 1) / block + 1;//第i个元素在第几块中
这几个变量十分有用，在后文中会讲到。
以上是分块的初始化。
下面我们来讲对于查询怎么对付，
对于区间查询，有三种情况：
1:询问区间[x,y]中x不是块的左边界，y也不是块的右边界。
2:询问区间[x,y]中x不是块的左边界，y也是块的右边界。
3:询问区间[x,y]中x是块的左边界，y也不是块的右边界。
我们发现，对于比较普通的1情况可以把询问区间分成3个部分：
左边多出来的、中间的k块、右边多出来的。
可以发现，对于一块来说查询是O(1)的（因为我可以预处理每一块的值）
对于多出来的边角料部分总和不足2*sqrt(n)，基于这个时间复杂度，我们可以进行暴力求解。
所以可以发现对于1操作查询的总复杂度（一共有n次操作）为O(n*sqrt(n))。
对于2、3情况，我们可以将这些情况当成1情况来处理。
代码展示：
1 for (int i = x; i <= min(y,p[x] * block); i++)//处理左边角料 2 //do something 3 4 for (int i = (p[y] - 1) * block + 1; i <= y; i++)//处理右边角料 5 //do something 6 7 for(int i = p[x] + 1; i <= p[y] - 1; i++)//处理中间k块 8 //do something 9 10 //这里特别注意一下，对于一个块的左边界，我们可以求出上一个块的右边界(p[x] - 1)*block，+1后就是这个块的左边界。
现在我们来讲一下修改操作。
跟查询操作一样，我们也可以分成3部分，对于边角料暴力修改a[i]，对于一块，我们修改这一块的值A[p[i]]
总时间复杂度为O(n*sqrt(n))。
代码展示：
for (int i = x; i <= min(y,p[x] * block); i++)//处理左边角料 change(a[i]); for (int i = (p[y] - 1) * block + 1; i <= y; i++)//处理右边角料 change(a[i]) for(int i = p[x] + 1; i <= p[y] - 1; i++)//处理中间k块 change(A[i]);//这里的i已经是块号了，所以修改的是A[i]，与讲解的不太一样
对于预处理，我们发现即使每个块暴力进行对于A[i]的预处理，时间复杂度也只有O(n)，
所以预处理就块内暴力求解。
代码展示：
void work(int x,int y,int t)
{
int st = 0;
for (int i = x; i <= y; i++)
//do something with st
A[t] = st;
}
for (int i = 1; i <= sum; i++)//一共sum块
work((p[i] - 1) * block + 1,p[i] * block,i);//传入块的左右边界和编号
几种常用的（入门）模板
1：区间加法，单点求和。(loj6277)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值。
对于中间的k块，修改加法标记addtag[i]，表示第i个块加上了addtag[i]。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），最后输出a[i] + addtag[p[i]]
完整代码展示:
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define int long long
3 using namespace std;
4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005];
5 int a[50005];
6 inline void work(int as,int bs,int x)
7 {
8 int st = 0;
9 for (int i = as; i <= bs; i++)
10 st += a[i];
11 Ans[x] = st;
12 }
13 inline int read(){
14 int s=0,w=1;
15 char ch=getchar();
16 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
17 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
18 return s*w;
19 }
20 signed main(){
21 scanf("%lld",&n);
22 block = (int)sqrt(n);
23 sum = n / block;
24 if (n % block) sum++;
25 for (int i = 1; i <= n; i++)
26 {
27 //scanf("%lld",&a[i]);
28 a[i] = read();
29 p[i] = (i - 1) / block + 1;
30 }
31 for (int i = 1; i <= sum; i++)
32 work((i - 1) * block + 1,i * block,i);//预处理块内和
33 for (int i = 1; i <= n; i++)
34 {
35 int x,y,st = 0,op,k,mp,io;
36 op = read();
37 if (op == 1)
38 {
39 mp = read();
40 x = read();
41 io = read();
42 printf("%lld\n",a[x] + Add[p[x]]);//输出对于a[i]加上了多少
43 } else
44 {
45 x = read();
46 y = read();
47 k = read();
48 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++)
49 a[j] += k;
50 if (p[x] != p[y])
51 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++)
52 a[j] += k;
53 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++)
54 Add[j] += k;//这里直接修改加法标记
55 }
56 }
57 return 0;
58 }
2：区间加法，区间求和。(loj6280)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值，修改了a[i]的值，也要把a[i]所在块的值修改。
对于中间的k块，修改加法标记addtag[i]，表示第i个块加上了addtag[i]。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），对于边角料同上一个模板一样，暴力+a[i]+addtag[p[i]]
对于中间的k块加上A[i]，因为其中有block个数，所以要+block个addtag[i]
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define int long long
3 using namespace std;
4 const long long inf = 66666666233;
5 int block,sum,Ans[3000005],p[3000005],n,m,Add[3000005];
6 int a[3000005];
7 void work(int as,int bs,int x)
8 {
9 int st = 0;
10 for (int i = as; i <= bs; i++)
11 st += a[i];
12 Ans[x] = st;
13 }
14 signed main(){
15 scanf("%lld",&n);
16 block = (int)sqrt(n);
17 sum = n / block;
18 if (n % block) sum++;
19 for (int i = 1; i <= n; i++)
20 {
21 scanf("%lld",&a[i]);
22 p[i] = (i - 1) / block + 1;
23 }
24 for (int i = 1; i <= sum; i++)
25 work((i - 1) * block + 1,i * block,i);
26 for (int i = 1; i <= n; i++)
27 {
28 int x,y,st = 0,op,k;
29 scanf("%lld",&op);
30 if (op == 1)
31 {
32 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
33 for (int j = x; j <= y; j)
34 if ((j - 1) % block || (p[j] * block > y))
35 {
36 st += Add[p[j]] + a[j];
37 j++;
38 } else
39 {
40 st += Ans[p[j]] + Add[p[j]] * ((p[j] * block) - ((p[j] - 1) * block + 1) + 1);//加上block个Add[p[j]]
41 j += block;
42 }
43 printf("%lld\n",st % (k + 1));
44 } else
45 {
46 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
47 for (int j = x; j <= y; j)
48 if ((j - 1) % block || (p[j] * block > y))
49 {
50 a[j] += k;
51 Ans[p[j]] += k;
52 j++;
53 } else
54 {
55 Add[p[j]] += k;
56 j += block;
57 }
58 }
59 }
60 return 0;
61 }
3：区间开方，区间求和。(loj6281)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值，修改了a[i]的值，也要把a[i]所在块的值修改。
对于中间的k块，修改总和A[i]，表示第i个块减少了。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），边角料暴力+a[i]
对于中间的k块加上A[i]，输出答案。
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define int long long
3 using namespace std;
4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005],tag[500005];
5 int a[50005];
6 inline void work(int as,int bs,int x)
7 {
8 int st = 0;
9 for (int i = as; i <= bs; i++)
10 st += a[i];
11 Add[x] += st;
12 //COp[x] = st;
13 }
14 inline int read(){
15 int s=0,w=1;
16 char ch=getchar();
17 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
18 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
19 return s*w;
20 }
21 void push_down(int x){
22 Add[x]=0;
23 int flag=1;
24 for(int i=(x-1)*block+1;i<=min(n,x*block);i++){
25 a[i]=(int)sqrt(a[i]*1.0);
26 Add[x]+=a[i];
27 if(a[i]!=1) flag=0;
28 }
29 tag[x]=flag;
30 }//这里注意一下，对于中间的块要标记下传，重新更新
31 signed main(){
32 scanf("%lld",&n);
33 block = (int)sqrt(n);
34 sum = n / block;
35 if (n % block) sum++;
36 for (int i = 1; i <= n; i++)
37 {
38 a[i] = read();
39 p[i] = (i - 1) / block + 1;
40 }
41 for (int i = 1; i <= sum; i++)
42 work((i - 1) * block + 1,i * block,i);
43 for (int i = 1; i <= n; i++)
44 {
45 int x,y,st = 0,op,k,mp,io;
46 op = read();
47 if (op == 1)
48 {
49 x = read();
50 y = read();
51 mp = read();
52 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++)
53 st += a[j];
54 if (p[x] != p[y])
55 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++)
56 st += a[j];
57 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++)
58 st += Add[j];
59 printf("%d\n",st);
60 } else
61 {
62 x = read();
63 y = read();
64 k = read();
65 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++)
66 {
67 int uy = a[j];
68 a[j] = (int)sqrt(a[j]);
69 Add[p[j]] -= uy - a[j];//开方就等于减少了sqrt(a[i])
70 }
71 if (p[x] != p[y])
72 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++)
73 {
74 int uy = a[j];
75 a[j] = (int)sqrt(a[j]);
76 Add[p[j]] -= uy - a[j];
77 }
78 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++)
79 if (tag[j] == 0) push_down(j);
80 }
81 }
82 return 0;
83 }
4：区间加法，区间询问小于c2的数。(loj6278、luoguP4145)
预处理时对于所有块进行快内排序，将未排序的a数组赋值给tlps，修改时对于边角料暴力修改值，修改tlps[i]的值（如果修改的是a的话，因为排过序，会发现位置不对）。
对于中间的k块，修改A[i]。
对于询问，边角料暴力判断
对于中间的k块（对于a数组）lower_bound c^2 - addtag（因为询问所有a + addtag 等价于 c^2 - addtag），得出这个位置，可以发现，这个位置的前面都是符合要求的。
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define int long long
3 using namespace std;
4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005];
5 int a[50005],tlps[50005];
6 inline void work(int as,int bs)
7 {
8 for (int i = as; i <= bs; i++)
9 a[i] = tlps[i];
10 sort(a + as,a + bs + 1);
11 }
12 signed main(){
13 //freopen("a1.in","r",stdin);
14 //freopen("ate.out","w",stdout);
15 memset(Add,0,sizeof(Add));
16 scanf("%lld",&n);
17 block = (int)sqrt(n);
18 sum = n / block;
19 if (n % block) sum++;
20 for (int i = 1; i <= n; i++)
21 {
22 scanf("%lld",&a[i]);
23 tlps[i] = a[i];//注意要复制一份
24 p[i] = (i - 1) / block + 1;
25 }
26 for (int i = 1; i <= sum; i++)
27 work((i - 1) * block + 1,min(i * block,n));
28 for (int i = 1; i <= n; i++)
29 {
30 int x,y,op,k;
31 scanf("%lld",&op);
32 if (op == 1)
33 {
34 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
35 k = k * k;
36 int v = 0;
37 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++)
38 if (tlps[j] + Add[p[x]] < k)
39 v++;
40 if (p[x] != p[y])
41 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++)
42 if (tlps[j] + Add[p[y]] < k)
43 v++;
44 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++)
45 v += lower_bound(a + (j - 1) * block + 1,min(a + n,a + j * block + 1),k - Add[j]) - (a + (j - 1) * block + 1);//二分查询
46 printf("%lld\n",v);
47 } else
48 {
49 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
50 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++)
51 {
52 tlps[j] += k;//修改的是原数组
53 //a[j] += k;
54 }
55 work((p[x] - 1) * block + 1,min(n,p[x] * block));
56 if (p[x] != p[y])
57 {
58 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++)
59 {
60 tlps[j] += k;
61 //a[j] += k;
62 }
63 work((p[y] - 1) * block + 1,min(n,p[y] * block));
64 }
65 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++)
66 Add[j] += k;
67 }
68 }
69 return 0;
70 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/taoyc/p/10126184.html
时间： 2024-08-03 13:20:07