hiho一下 第四十周 题目1 : 三分·三分求极值

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描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。

提示：三分法

×

提示：三分法

在之前的几周中我们了解到二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。

但当函数是凸形函数时，二分法就无法适用，这时就需要用到三分法。

从三分法的名字中我们可以猜到，三分法是对于需要逼近的区间做三等分：

我们发现lm这个点比rm要低，那么我们要找的最小点一定在[left,rm]之间。如果最低点在[rm,right]之间，就会出现在rm左右都有比他低的点，这显然是不可能的。 同理，当rm比lm低时，最低点一定在[lm,right]的区间内。

利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。

接下来我们回到题目上，抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算：

即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}

该公式展开后为4次，需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。

进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。

而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。

那么三分法不就正好可以用来解决这道题目了么？

需要注意在解题过程中一定要想清楚如何划分区间，我们求的各个变量到底是什么含义。

另外，这道题还有一个小小的trick，在解决的时候请一定要小心。

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输入

第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出

第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

样例输入

2 8 2 -2 6

样例输出

2.437

我不知道当作一个完整弧来看对不对，但是拆成两半肯定是可以的

一半到给定点的距离随着x的变化，y是呈现一个凸

于是就这样吧，懒死了

#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<climits>
#include<list>
#include<iomanip>
#include<stack>
#include<set>
using namespace std;
double a,b,c;
double cnt(double x)
{
	return a*x*x+b*x+c;
}
double dis(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
	return sqrt(pow(x1-x2,2)+pow(y1-y2,2));
}
const double eps=1e-9;
double seek(double x,double y,double l,double r)
{
	while(r-l>eps)
	{
		double ll=(l*2+r)/3,rr=(l+r*2)/3,y1=cnt(ll),y2=cnt(rr);
		if(dis(ll,y1,x,y)<dis(rr,y2,x,y))
			r=rr;
		else
			l=ll;
	}
	return dis(r,cnt(r),x,y);
}
int main()
{
	double x,y;
	cin>>a>>b>>c>>x>>y;
	double l=-b/(a*2),r=200.0,ans;
	ans=min(seek(x,y,-200.0,l),seek(x,y,l,r));
	printf("%.3f\n",ans);
}