杨辉三角——队列的应用

杨辉三角形是形如：

1

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

的三角形，其实质是二项式(a+b)的n次方展开后各项的系数排成的三角形，它的特点是左右两边全是1，从第二行起，中间的每一个数是上一行里相邻两个数之和。

使用《队列》的思想来实现杨辉三角的流程：

1>首先，需要初始化一个队列，即对头=队尾=0；

2>将第一行的元素1入队，接着操作第二行(一二行不需要求和操作，直接将元素入队即可)；

3>从第三行开始，现在的对头指向N-1行，先将每行的固定元素1入队，然后循环操作求和过程：

将队首元素出队，并保存它的值temp；

获取当前队首的元素x，并进行temp=temp+x，且将temp入队；

4>循环结束后，队首在N-1行的最后一个元素处，现将其出队，然后将每行最后的固定元素1入队；

5>循环3、4步就可以输出杨辉三角形了。

注意：杨辉三角的特点是第N行的中间值等于N-1行两值的和，队列采用的是单进单出。

//使用队列输出杨辉三角
#include "stdafx.h"
#include<stdio.h>

#define MAXSIZE 50
#define FALSE 0
#define TRUE 1
typedef int QueueElemType;

typedef struct
{
	QueueElemType element[MAXSIZE];
	int front;//队头
	int rear;//队尾
}SeqQueue;

void InitQueue(SeqQueue *Q)//初始化
{
	Q->front = Q->rear = 0;
}

int EnterQueue(SeqQueue *Q, QueueElemType x)//入队
{
	if ((Q->rear + 1) % MAXSIZE == Q->front)///队列已经满了
		return FALSE;
	Q->element[Q->rear] = x;
	Q->rear = (Q->rear + 1) % MAXSIZE;
	return TRUE;
}

int DelQueue(SeqQueue *Q, QueueElemType *x)//出对
{
	if (Q->front == Q->rear)
		return FALSE;
	*x = Q->element[Q->front];
	Q->front = (Q->front + 1) % MAXSIZE;

	return TRUE;
}
int GetHead(SeqQueue *Q, QueueElemType *x)//取对头元素
{
	if (Q->front == Q->rear)
		return FALSE;
	*x = Q->element[Q->front];
	return TRUE;

}
int IsEmpty(SeqQueue *Q)
{
	if (Q->rear == Q->front)
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
//创建杨辉三角，N表示三角形的行数
void YangHuiTriangle(int N)
{
	int n, i, x, temp;
	SeqQueue Q;
	InitQueue(&Q);
	EnterQueue(&Q, 1);//第一行元素入队
	for (n = 2; n <= N; n++)
	{
		EnterQueue(&Q, 1);//入队
		for (i = 1; i <= n - 2; i++)
		{
			DelQueue(&Q, &temp);//出队的数赋给temp
			printf("%d ", temp);
			GetHead(&Q, &x);
			temp = temp + x;
			EnterQueue(&Q, temp);
		}
		DelQueue(&Q, &x);//出队
		printf("%d ", x);
		EnterQueue(&Q, 1);
		printf("\n");
	}
	while (!IsEmpty(&Q))
	{
		DelQueue(&Q, &x);
		printf("%d ", x);

	}
}
void main()
{
	int N;
	printf("please input the N:");
	scanf("%d", &N);
	YangHuiTriangle(N);
	printf("\n");
}

下面是网上找的思路，也可以参考一下：

使用队列解决这个问题有1个小的技巧：在两个1的两边增加两个0，通过0来标记这一层的结束。即：0  1  0 （杨辉三角的第一行，我们是从第一行开始的）

0  1  0

1   1

1  2  1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

程序如下：

//遍历循环链表并打印
void printQueue(Queue *q)
{
for(int i = 0; i < Qlength(q);++i)
printf("%d ",q->data[(q->front+i+q->Qsize)%q->Qsize]);
printf("\n");
}

//输出杨辉三角的第n行的元素
void YangHuiTriangle(int n)
{
int level = n;
//printf("请输入");
Queue myQueue;
initQueue(&myQueue,level);
//初始化第一行:使用0作为一行结束的标记
enQueue(&myQueue,0);
enQueue(&myQueue,1);
enQueue(&myQueue,1);
enQueue(&myQueue,0);
int x,y;
for(int m = 1;m < level;++m)
{
do{
//将整个队列的前两个求和放入队尾，并删除队首元素
deQueue(&myQueue,&x);
getHead(&myQueue,&y);
enQueue(&myQueue,x+y);
}while(y!=0);
//填充队尾标记
enQueue(&myQueue,0);
}
printQueue(&myQueue);

}
 

这个做法很巧妙：先让元素出队，再获得后面的那个元素，然后再将二者相加以后入队，重复这个工作，直到遇见0为止。这个0既是上一层队列结束的0，又是这一层队列开始的0。

最后附赠一份C++实现杨辉三角的代码：

//杨辉三角的C++代码
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int i,j,t;
	int a[11][11];
	//左右两边全是1
	for(i=1;i<11;i++)
	{
		a[i][1]=1;
		a[i][i]=1;
	}
	for(i=1;i<11;i++)
	{
		if(i>=3)
		{
			for(t=2;t<i;t++)
			{
				a[i][t]=a[i-1][t-1]+a[i-1][t];
			}
		}
	}
	for(i=1;i<11;i++)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);"> </span>