Problem Description
A number sequence is defined as follows:
f(1) =
1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
Given A, B, and
n, you are to calculate the value of f(n).
Input
The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.
Output
For each test case, print the value of f(n) on a single line.
Sample Input
1 1 3
1 2 10
0 0 0
Sample Output
2
5
1.必然会出现循环
这是基于下面事实(*不太懂*)：
1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p
2． 斐波那契数列的最大公约数定理：gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n))
最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除，则F(ik)也能被N整除，这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性，下面列举：
因子：2，3，4，5， 6，7，8， 9，10，11，12
周期：3，4，6，5，12，8，6，12，15，10，12
我们称所生成的序列为剩余序列，那么一旦出现某个F(k) 能被N整除（这需证明我的一个猜想：对于任意素数P，F（P），F（P-1）和F（P+1）三个中定有一个能被P整除），以后F(ik)都能被N整除，亦即剩余序列周期地出现0，下一个剩余序列值为N-1种可能，总会重复，有两个相邻的重复该序列就一定重复，亦即具有周期性。
这个周期叫做皮萨诺周期
2.正确思路
因为mod7的关系，而且f(1)=f(2)=1,所以f(n)的值是循环分布的，而且一定会回到f(n-1)=f(n)=1。
并且还可以得出，这个循环不大于49，因为相邻连个f只有7种取值，这样f(n-1)和f(n)共有49种组合。
所以，只要找出循环因子即可，寻找方法正是根据f(n-1)=f(n)再次出现的地方来计算。
可以首先为这个题目写一个测试程序，设定一个a b n(n比较小时)的值，看看输出规律。
只要找到k使得f(k-1) = f(n-1),f(k-2)=f(n-2);特别地，当k等于2时就可以了，因为f(1),f(2)是循环的开始。
又因为f(n-1),f(n-2)都只能取0到6共7个数，因此有49种组合方式，也就是说50内必然可以找到满足条件的k，就是循环周期小于50。
3.解题思路：
1.n的数值很大，这类数值很大的问题一般都有规律，找出循环节（周期）是关键；
2.找规律，这道题是从 f(1) = 1 和 f(2) = 1 开始，然后依次模7，可知 f(n) 只有7种情况，所以两数相邻只有7*7=49种；
3.所以从 f(1) 到 f(49) 必会出现相邻两个 f(m-1) = 1 , f(m) = 1，所以 f(n) 为周期函数，49为其一个周期。
3.实现代码：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 int A,B;
5
6 int f(int n)
7 {
8 if(n==1||n==2)
9 return 1;
10 else{
11 return ((A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) % 7);
12
13 }
14 }
15
16 int main()
17 {
18 long long n;
19 while(1)
20 {
21 cin>>A;
22 cin>>B;
23 cin>>n;
24 if(A==0 && B==0 && n==0)
25 break;
26 else
27 {
28 n %= 49;
29 cout<<f(n)<<endl;
30 }
31 }
32 return 0;
33 }