酋长要他用10000个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。探险家拿不出这么多金币，便请求酋长降低要求。酋长说："嗯，如果你能够替我弄到大祭司的皮袄，我可以只要8000金币。如果你能够弄来他的水晶球，那么只要5000金币就行了。"探险家就跑到大祭司那里，向他要求皮袄或水晶球，大祭司要他用金币来换，或者替他弄来其他的东西，他可以降低价格。探险家于是又跑到其他地方，其他人也提出了类似的要求，或者直接用金币换，或者找到其他东西就可以降低价格。不过探险家没必要用多样东西去换一样东西，因为不会得到更低的价格。探险家现在很需要你的帮忙，让他用最少的金币娶到自己的心上人。另外他要告诉你的是，在这个部落里，等级观念十分森严。地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触，包括交易。他是一个外来人，所以可以不受这些限制。但是如果他和某个地位较低的人进行了交易，地位较高的的人不会再和他交易，他们认为这样等于是间接接触，反过来也一样。因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。
每个物品看成一个节点，酋长的允诺也看作一个物品， 如果一个物品加上金币可以交换另一个物品，
则这两个节点之间有边，权值为金币数，求第一个节点到所有节点的最短路。
因为有等级限制，所以枚举每个点作为最低等级，选取符合所有符合等级限制的点
最短路问题，不过因为存在着等级的差异所以需要枚举一下。本题的思路就是对冒险者的等级进行枚举，也就是说冒险者只能和在他等级以上的人进行交易。这样枚举的好处是能够把所有的情况都考虑进去。有一点需要注意：酋长的等级不一定是最高的
构图时要注意的是，酉长的承诺不是 最初的源点，它是一个目标点，也就是说点到点的指向方向是由 无替代品的点 逐渐指向到 酉长的承诺1点（酋长所在的位置即为目标点），题意说明的是一个回溯的过程，因此可以定义一个最初的源点0点，它到其他各点的权值就是每个物品的原价，而点A到点B的权值 就是 物品B在有第A号替代品情况下的优惠价
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#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff; //无限大
int M,N;//M为等级差，N为物品数目
int price[101][101]; //物品i在有第t号替代品情况下的优惠价pricr[t][i],当t=0时说明i无替代品，此时为原价
int lv[101]; //第i号物品主人的等级lv[i]
int x[101];//第i号物品的替代品总数x[i]
int dist[101];//最初的源点0到任意点i的最初距离（权值），相当于每个物品的原价
bool vist[101]; //记录点i是否已被访问
/*Initial and Input*/
void data_init()
{
memset(price,0,sizeof(price));
memset(lv,0,sizeof(lv));
memset(dist,inf,sizeof(dist));
memset(vist,false,sizeof(vist));
cin>>M>>N;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>price[0][i]>>lv[i]>>x[i]; //price[0][i]物品i无替代品时的原价
for(int j=1;j<=x[i];j++)
{
int t,u; //t替代品编号，u优惠价(临时变量)
cin>>t>>u;
price[t][i]=u; //物品i在有第t号替代品情况下的优惠价，即点t到点i的权值
}
}
}
/*Dijkstra Algorithm*/
int dijkstra()
{
int node;//记录与当前源点距离最短的点
int sd;//最短距离
int i,j;
for(i=1;i<=N;i++)
dist[i]=price[0][i]; //假设最初的源点就是0点，初始化最初源点到各点的权值//dist[i] 在一般的DIJ算法中，顶点是没有权值的，直接事先赋值为MAX，这里节点带有权值，如果被更新，说明用替代物比用原价更便宜，即松弛。
for(i=1;i<=N;i++) //DJ算法本身就是循环V次
{
node=0;
sd=inf;
for(j=1;j<=N;j++)
{
if(!vist[j] && sd>dist[j]) //在未访问的点中，寻找最短的一条
{
sd=dist[j]; //DJ算法本身应该从0开始，这里不用从0点开始，因为0点的松弛在dist[i]=price[0][i]被操作。
node=j; //记录该点
}
}
if(node==0) //若node没有变化，说明所有点都被访问，最短路寻找完毕
break;
vist[node]=true; //记录node点已被访问
for(j=1;j<=N;j++)
{
if(!vist[j] && price[node][j] > 0 && dist[j] > dist[node] + price[node][j]) //把未访问但与node（新源点）连通的点进行松弛。
//这里的PRICE表示从NODE到J的权值，DJ算法对于有向图更新的是边的末端，即J
dist[j]=dist[node]+price[node][j]; //再把最小的顶点相邻顶点进行松弛
}
}
return dist[1]; //返回当前次交易后目标点1在等级lv[i]约束下的最短距离
}
int main()
{
data_init(); //初始化并输入数据
int temp_price; //当前次交易后目标点1在等级lv[i]约束下的最少价格
int maxlv; //最大等级(酉长的等级不一定是最大的)
int minprice=inf; //最低价格(初始化为无限大)
for(int i=1;i<=N;i++)
{
/*枚举各个最高等级情况下的最短路径值，取最小者。*/
maxlv=lv[i]; //把当前物品的等级暂时看做最高等级
for(int j=1;j<=N;j++) //遍历其他各点
{
if(lv[j]>maxlv || maxlv-lv[j]>M) //当其它物品j的等级比当前物品高(保证单向性)，或者两者等级之差超出限制M时
vist[j]=true; //物品j则强制定义为“已访问”状态，不参与后续操作
else
vist[j]=false; //否则物品j定义为“未访问”状态，参与后续操作
//每次进入DIJ算法之前都要初始化visit
}
temp_price=dijkstra(); //记录当前次交易后目标点1在等级lv[i]约束下的最短距离(最少价格)
if(minprice>temp_price) //寻找各次交易后的最少价格，最终确认最少价格
minprice=temp_price;
}
cout<<minprice<<endl;
return 0;
}
思路二：
思路一对应左边的图，即边的方向为正常方向，表示用3节点作为代替再加上50单位金钱可以得到1节点物品。DJ算法中，通过d[0]=0,从而保证了0点是源点，这里起始时，将图中各个边全部表示出来，包括各点到源点的权值、各个点之间的权值。本来应该从0点开始，（d值最小，为0，但由于已经在dist[i]=price[0][i]赋值了，即已经对0点进行了松弛操作。）目标是到达1点，通过不断的松弛直到进行到节点1，从而得到d[1]。
思路二：如右图，图中边的方向颠倒过来。但在起始状态下，1节点的d值为0，其他节点d值为MAX,（此时不考虑各个顶点本身的权值，后面再加上）即用DJ算法得到从1节点开始到各个节点的最短路，这里看似没有考虑节点本身的权值所以结果不对，但是实际上一条最短路上只需要考虑顶端的节点权值（即只用花一次钱买一个物品）即可，（不必担心出现这种情况：比如右图中虽然1到3的权值小，1到2的权值大，但如果2节点权值比3节点大的多，从而431是错误的最短路，完全没有这种担忧。因为在最短路中只需要将路径的权值相加再加上顶端节点权值即4的权值即可，根本不用考虑2，3的权值，用4加上3,4权值即可得到物品3，不用再花钱买3）因此求完各个顶点最短路，再综合各个顶端节点值即可得到最终值。
此题的关键在于等级限制的处理，采用枚举，即假设酋长等级为5，等级限制为2，那么需要枚举等级从3~5,4~6,5~7
//最短路径——Dijkstra算法
//此题的关键在于等级限制的处理，最好的办法是采用枚举，即假设酋长等级为5，等级限制为2，那么需要枚举等级从3~5,4~6,5~7
//从满足改等级范围的结点组成的子图中用Dijkstra来算出最短路径
//小结，通过枚举的方式可以消除一些图与图之间的限制
#include<iostream>
#include<cmath>
#define INF 200000000
#define MAX 101
using namespace std;
int map[MAX][MAX],lev[MAX],d[MAX],value[MAX];
bool within_lim[MAX],v[MAX];//within_lim为满足等级限制的标记数组
int lev_lim,n;
int dijkstra()//Dijkstra算法
{
int minimum = INF;
memset(v,0,sizeof(v));//清除所有点的标号
for(int i = 1;i <= n;++i)
d[i] = (i == 1 ? 0 : INF);//设d[1] = 0,其他d[i] = INF
for(int i = 1;i <= n;++i)//循环N次
{
int x = 0, m = INF;
for(int y = 1; y <= n;++y)
if(!v[y] && d[y] <= m && within_lim[y])//在所有未标号且满足等级限制的结点中，选出d值最小的结点x
{
x = y;
m = d[y];
}
v[x] = 1;//给结点x标记
for(int y = 1;y <= n;++y)//对于从x出发的所有边(x,y)，更新d[y] = min{d[y], d[x] + map[x][y])
{
if(within_lim[y])//满足等级限制
d[y] = min(d[y],d[x] + map[x][y]);//更新d[y]值
}
}
for(int i = 1;i <= n;++i)
{
d[i] += value[i];//对于每个d[i]值，还需加上进入该结点的花费，再进行比较
if(d[i] < minimum) minimum = d[i];
}
return minimum;
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
cin >> lev_lim >> n;
for(int i = 0;i <= n;++i)
for(int j = 0;j <= n;++j)
map[i][j] = (i == j ? 0 : INF);//图的初始化，注意对角线初始化为0，从自己出发到自己的花费为0
for(int i = 1;i <= n;++i)
{
int t;
cin >> value[i] >> lev[i] >> t;
for(int j = 1;j <= t;++j)
{
int k;
cin >> k;
cin >> map[i][k];
}
}//建图完毕
int kinglev = lev[1];
int min_cost = INF,cost;
for(int i = 0;i <= lev_lim;++i)
{
memset(within_lim,0,sizeof(within_lim));//初始化标记数组
for(int j = 1;j <= n;++j)
if(kinglev-lev[j]<=lev-i && lev[j] <= kinglev + i)//枚举等级允许范围的结点
within_lim[j] = 1;
cost = dijkstra();
if(cost < min_cost)
min_cost = cost;
}
cout << min_cost << endl;
return 0;
}
shortpath1062