[问题2015S11] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第十二教学周）

[问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是正实数. [公告]  关于本学期复旦高等代数II(13级)每周一题,新题的公布到第十五教学周为止(即本学期一共公布 15 道思考题), 解答的公布到第十七教学周为止(通常滞后两周). [推荐]  请 13 级的同学到以下网址下载<数学之美,吴军著>一书,希望即将学完一年大学数

[问题2015S12]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 若对任意的非零 \(n\) 维实列向量 \(\alpha\), 总有 \(\alpha'A\alpha>0\), 则称 \(A\) 为亚正定阵. 显然, 如果 \(A\) 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 \(A\) 就是正定阵. 以下设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶亚正定阵, \(c\) 是正实数, 求证: (1) \(A\) 是亚正定阵的充要条件是 \(A+A'\) 是正定阵; (2) \(A\) 的特征值的实

[问题2015S10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异实对称阵 \(R\), 使得 \(A'=R^{-1}AR\), 即 \(A\) 可通过非异实对称阵相似于其转置 \(A'\). 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0

[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 证明: 对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}C \\ C(A-\lambda I_n) \\ C(A-\lambda I_n)^2 \\ \

[问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式. 设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, \(\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 中的向量, 满足 \[\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\

[问题2015S07]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异复对称阵 \(S\), 使得 \(A'=S^{-1}AS\), 即 \(A\) 可通过非异复对称阵相似于其转置 \(A'\). 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0

[问题2014A10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵满足 \(AA'=I_n\) (即 \(A\) 为 \(n\) 阶正交阵), 证明: \[\mathrm{rank}(I_n-A)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big).\] 注  请不要用高代 II 中正交阵的正交相似标准形或酉相似标准形来证明.

[问题2014A01]  试求下列 \(n\) 阶行列式的值: \[ |A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ 1 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots &  &

[问题2014S11]  设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶实对称阵, \(p(A),p(B),p(A+B)\) 分别为 \(A,B,A+B\) 的正惯性指数, 证明: \[p(A+B)\leq p(A)+p(B).\]