PCA主成份分析

PCA（Principal Component Analysis）主要是为了做数据降维，数据从原来的坐标系转换到登录新的坐标系，新坐标系的选择是由数据本身决定的，第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向，第二个新坐标轴的选择和第一个坐标轴正交且具有最大方差，该过程一直重复，重复次数为原始数据中特征的数据。通常情况下，大部分方差都包含在前面的几个新坐标轴中，所以一般情况下我们选择前面几个贡献值较大的（90%以上）就是主成份了。

通过这种降维技术，它能将大量相关变量转化为一组很少的相关变量，这些无关变量称为主成份，比如原始的特征为x1，x2，……xk，通过一些新坐标轴的投影之后，第一主成份可能变成了pc1=a1*x1+a2*x2+……+ak*xk类似的，它是k个特征的加权组合，对初始数据集的方差解析性最大。

PCA有如下几个步骤：

1，原始矩阵A去除平均值（求出每个特征原始的平均值，原始矩阵减去这个平均值之后生成一个新矩阵B，也就是特征中心化）

2，计算协方差矩阵C（两两特征之间的协方差，构成一个矩阵）

3，计算协方差矩阵C的特征值和特征向量（为了求出最大的方差方向，也就是特征向量）

4，将特征值按照大到小排序，保留前面topN个特征向量V（如累计方差贡献值超过90%）

5，将原始数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中，B*V

如果要恢复回原来的矩阵A，利用以下公式（精度有一些损失是正常的）：

下面演示python中利用numpy来实现pac的案例：

下面是redEigVects输出的样子：

那么显然TOPN=3的主成份分别为：

PCA1 = 0.36*x1-0.08*x2+0.85*x3+0.35*x4

PCA2 = -0.65*x1-0.72*x2+0.17*x3+0.07*x3+0.07*x4

PCA3=-0.58*x1+0.59*x2+0.07*x3+0.54*x4