分治算法例子集锦

描述：

两部分组成

分（divide）：递归解决较小的问题

治（conquer）：然后从子问题的解构建原问题的解

三个步骤

1、分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

2、解决（Conquer）：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

3、合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。

四个适用条件

1、该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

2、该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3、利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4、该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

（上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。）

伪代码表示：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题

7. return(T)

典型实例

求x的n次幂

复杂度为 O(lgn) 的分治算法

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

int power(int x, int n)
{
    int result;
    if(n == 1)
        return x;
    if( n % 2 == 0)
        result = power(x, n/2) * power(x, n / 2);
    else
        result = power(x, (n+1) / 2) * power(x, (n-1) / 2);

    return result;
}

int main()
{
    int x = 5;
    int n = 3;

    printf("power(%d,%d) = %d \n",x, n, power(x, n));
}