有关周期函数的一个命题

定理 设$f$是$R$上的连续函数，且$f(x+2\pi)=f(x)$, 则成立
$$\lim_{N\to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(x+n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$
对任意$x\in R$成立。

本题中令 $f(x)=|\cos x|$ 即可得到
$$\lim_{N\to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}|\cos(x+n)|=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\cos x|dx=\frac{2}{\pi}$$