最近在复习数据结构，所以想起了之前做的一个最小生成树算法。用Kruskal算法实现的，结合堆排序可以复习回顾数据结构。现在写出来与大家分享。
最小生成树算法思想：书上说的是在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。说白了其实就是在含有 n 个顶点的连通网中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称最小生成树。
本程序用的是克鲁斯卡尔算法（Kruskal），也可以使用prim算法实现。Kruskal思想是在带权连通图中，不断地在排列好的边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。
图的顶点存储结构体：
1 //结构体定义，储存图的顶点
2 typedef struct {
3 int from; //边的起始顶点
4 int to; //边的终止顶点
5 int cost; //边的权值
6 }Edge;
问题：顶点编号的类型。
好的程序应该可以扩展，不论顶点用0,1,2... 顺序编号还是用5,2,1,7... 乱序编号还是用a,b,c... 英文编号都应该可以做到兼容通过，所以在存储图的节点的时候我做了一个映射，就是不论输入的什么编号一律转换成顺序编号0,1,2...，在最后输出的时候再把编号映射回原来的编号，这样就可以应对不同而顶点编号。如下面程序：
1 for(i = 0;i < edgeNum; i++){
2 printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
3 scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);
4 edge_temp[i][0] = judge_num(from);
5 edge_temp[i][1] = judge_num(to);
6 edge_temp[i][2] = cost;
7 }
8 //对输入的边和点信息进行堆排序
9 HeapSort(edge_temp,edgeNum);
10 int j;
11 for(j = 0;j < edgeNum; j++){
12 edge[j].from = edge_temp[j][0];
13 edge[j].to = edge_temp[j][1];
14 edge[j].cost = edge_temp[j][2];
15 }
每次输入顶点后都会先保存到临时存储数组edge_temp中，进行堆排序后再把数据白存在真正的数据中。其中判断是否形成回路借助了一个递归方法：
1 //用于判断是否形成回路
2 int judge(int num){
3 if(num == judge_temp[num]){
4 return judge_temp[num];
5 }
6 return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);
7 }
执行步骤：
1：在带权连通图中，将边的权值排序（本程序用的是堆排序）；
2：判断是否需要选择这条边（此时的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。
3：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。
判断法则：（当将边加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？）
1：如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？如果两个点都没有出现过，那么将这 两个点都加入已找到点的集合中；如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。
2：如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。
重点类容就这么多，下面给出源程序，程序直接复制后可以运行，有兴趣的朋友也可以用prim算法实现。
1 #include <stdio.h>
2 #include <string.h>
3 //常量定义，边点最大数量限制50;
4 #define MAXE 52
5
6 /*
7 * Info:最小生成树算法源码(C语言版)
8 * @author: zhaoyafei
9 * time: 2015
10 */
11
12 //结构体定义，储存图的顶点
13 typedef struct {
14 int from; //边的起始顶点
15 int to; //边的终止顶点
16 int cost; //边的权值
17 }Edge;
18
19 int nodeNum; //顶点数;
20 int edgeNum; //边数;
21 int min_cost; //记录最小生成树(权值)
22 int judge_temp[MAXE]; //记录判断是否成环
23 int sort[MAXE][MAXE]; //用来做排序
24 int edge_temp[MAXE][3]; //用于存储堆排序边点信息
25
26 Edge edge[MAXE]; //用于存储边点信息
27 Edge min_edge[MAXE]; //用于存储最小生成树边点信息
28
29 char judge_num_int[MAXE];
30 int inputs = 1;
31 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length);
32 int judge_num(char from);
33
34 //save_point()函数,存储图的点边信息;
35 void save_point(){
36 char from;
37 char to;
38 int cost = 0;
39 int i;
40 for(i = 0;i < edgeNum; i++){
41 printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
42 scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);
43
44 edge_temp[i][0] = judge_num(from);
45 edge_temp[i][1] = judge_num(to);
46 edge_temp[i][2] = cost;
47 }
48 //对输入的边和点信息进行堆排序
49 HeapSort(edge_temp,edgeNum);
50 int j;
51 for(j = 0;j < edgeNum; j++){
52 edge[j].from = edge_temp[j][0];
53 edge[j].to = edge_temp[j][1];
54 edge[j].cost = edge_temp[j][2];
55 }
56 }
57
58 int judge_num(char str){
59 int n1 = 0;
60 for(int j1 = 1;j1 < edgeNum * 2; j1++){
61 if(str == judge_num_int[j1]){
62 n1++;
63 }
64 }
65 if(n1 == 0){
66 judge_num_int[inputs] = str;
67 inputs++;
68 }
69 int return_num = 1;
70 for(int j2 = 1;j2 < edgeNum * 2; j2++){
71 if(str == judge_num_int[j2]){
72 return_num = j2;
73 }
74 }
75 return return_num;
76 }
77
78 //用于判断是否形成回路
79 int judge(int num){
80 if(num == judge_temp[num]){
81 return judge_temp[num];
82 }
83 return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);
84 }
85
86 //判断是否是一棵最小生成树
87 bool is_judge(){
88 int oneedge = judge(1);
89 int i;
90 for(i = 2;i <= nodeNum; i++) {
91 if(oneedge != judge(i)){
92 return false;
93 }
94 }
95 return true;
96 }
97
98 //kruskal算法
99 void kruskal(){
100 min_cost = 0;//最小生成树
101 //初始化辅助回路判断数组
102 int m;
103 for(m = 0;m < MAXE;m++) {
104 judge_temp[m] = m;
105 }
106
107 int edge_num = 0;//记录最小生成树的边数
108 int i;
109 for(i = 0;i < edgeNum; i++){
110 //小于总节点数
111 if(edge_num != nodeNum - 1){
112 int edge_from = judge(edge[i].from);
113 int edge_to = judge(edge[i].to);
114 //如果形成回路则edge_from == edge_to;
115 if(edge_from != edge_to){
116 //如果没有形成回路，则改变原临时数组中的值
117 judge_temp[edge_from] = edge_to;
118 min_cost += edge[i].cost;
119
120 //将符合的边加入到存储数组中
121 min_edge[edge_num].from = edge[i].from;
122 min_edge[edge_num].to = edge[i].to;
123 min_edge[edge_num].cost = edge[i].cost;
124
125 edge_num++;
126 }
127 }
128 }
129 }
130
131 //array是待调整的堆数组，i是待调整的数组元素的位置，nlength是数组的长度
132 //根据数组array构建大顶堆
133 void HeapAdjust(int array[MAXE][3],int i,int nLength){
134 int nChild;
135 for(; 2*i + 1 < nLength; i = nChild){ //子结点的位置=2*（父结点位置）+1
136 nChild = 2*i + 1;
137 //得到子结点中较大的结点
138 if(nChild < nLength-1 && array[nChild+1][2] > array[nChild][2]){
139 ++nChild;
140 }
141 //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
142 if(array[i][2] < array[nChild][2]){
143 int temp_arr2[3];
144 temp_arr2[0] = array[i][0];
145 temp_arr2[1] = array[i][1];
146 temp_arr2[2] = array[i][2];
147
148 array[i][0] = array[nChild][0];
149 array[i][1] = array[nChild][1];
150 array[i][2] = array[nChild][2];
151
152 array[nChild][0] = temp_arr2[0];
153 array[nChild][1] = temp_arr2[1];
154 array[nChild][2] = temp_arr2[2];
155 }else{
156 break;//否则退出循环
157 }
158 }
159 }
160
161 //堆排序算法
162 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length){
163 //调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
164 //length/2-1是最后一个非叶节点，此处"/"为整除
165 int j;
166 for( j= length/2 - 1; j >= 0; --j){
167 HeapAdjust(array,j,length);
168 }
169 //从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
170 int i;
171 for(i = length - 1; i > 0; --i){
172 //把第一个元素和当前的最后一个元素交换，
173 //保证当前的最后一个位置的元素都是在现在的这个序列之中最大的
174 int temp_arr1[3]; //构建二维数组的原因：交换后保证数组中其他属性值同时交换
175 temp_arr1[0] = array[i][0];
176 temp_arr1[1] = array[i][1];
177 temp_arr1[2] = array[i][2];
178
179 array[i][0] = array[0][0];
180 array[i][1] = array[0][1];
181 array[i][2] = array[0][2];
182
183 array[0][0] = temp_arr1[0];
184 array[0][1] = temp_arr1[1];
185 array[0][2] = temp_arr1[2];
186
187 //不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
188 HeapAdjust(array,0,i);
189 }
190 }
191
192 //输出最小生成树的信息（包括边点和权值）
193 void output(){
194 if(is_judge()){
195 printf("最小生成树：\n");
196 printf("起点 -> 终点 路径长:\n");
197 for(int i = 0;i < nodeNum-1; i++){
198 printf(" %c -> %c %d\n",judge_num_int[min_edge[i].from],judge_num_int[min_edge[i].to],min_edge[i].cost);
199 }
200 printf("min cost is : %d\n",min_cost);
201 printf("*******************************************************************************\n");
202 printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
203 }else{
204 printf("最小生成树不存在！\n");
205 printf("*******************************************************************************\n");
206 printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
207 }
208 }
209
210 /*
211 * 程序主方法;
212 * 用于开始程序，介绍程序操作须知;
213 */
214 int main(){
215 printf("*******************************************************************************\n");
216 printf("** 最小生成树（kruskal算法） ***\n");
217 printf("** 说明：开始程序输入图的总点数和总边数，测试程序目前边点限制最多输入50个 ***\n");
218 printf("** 中间用空格隔开。输入边和点信息，需要按格式：开始边 终止边 权值 ***\n");
219 printf("** 本次计算结束可以按要求开始下次计算。 ***\n");
220 printf("*******************************************************************************\n");
221 printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
222 while(scanf("%d%d",&nodeNum,&edgeNum) != EOF){
223 //判断输入的边和点的合法性
224 if(nodeNum < 1 || edgeNum < 1){
225 printf("输入的数据不合法\n");
226 printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
227 return 0;
228 }else if(nodeNum > 50 || edgeNum > 50){
229 printf("输入的边或者点不能大于50\n");
230 printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
231 return 0;
232 }else{
233 printf("请输入 开始节点 终止节点 该边的权值（中间需用空格隔开,回车换行）:\n");
234 printf("共 %d 条边\n",edgeNum);
235 for(int m = 0;m < MAXE; m++) {
236 judge_num_int[m] = ‘-‘;
237 }
238 inputs = 1;
239 save_point(); //存储边点信息
240 kruskal(); //算法执行
241 output(); //输出执行结果
242 }
243 }
244 return 0;
245 }
运行结果如下：
时间： 2024-10-02 22:46:15