2的幂的指数运算特殊实例

---恢复内容开始---

在文章“2的幂的合并运算实例”中展示了2的幂指数合并运算的基本规则。在合并2的幂时还用到了两条规则，我称之为2的幂的加倍幂运算和2的幂的减半幂运算。这并非标准规则，只适用于2的幂。尽管已经有了乘法和除法幂规则，但我已经发现了其在加法和减法幂运算中的价值。我将说明这些规则并展示用例。

2的幂的加倍幂运算规则

下面是我称之为2的幂的加倍幂运算规则：

2^a + 2^a = 2^a+1

(2^a+1是2^a的平方，也就是双倍的2^a.)

例如，2⁴ + 2⁴ = 2⁵, 和 2^-2 + 2^-2 = 2^-1.

一般遇到幂的加法，你无需考虑运算规则，但这里需要。做自身的加法等于翻倍，等于乘以2-是2的幂。本规则是2的幂的求积规则的隐秘形式。下面是数学过程：

2^a + 2^a = 2^a · 2 = 2^a · 2¹ = 2^a+1

实例

一个例子就是将表示为2的幂形式的二进制数相加的时候。例如，101和1100相加，你加的是2² + 2⁰ 和 2³ + 2², 得 2³ + 2² + 2² + 2⁰. 你希望合并2的幂来简化算式。根据2的幂的加倍幂运算规则可知 2² + 2² = 2³. 现在有了两个2³, 我们有2³ + 2³ = 2⁴. 最终结果2⁴ + 2⁰ = 二进制的10001 .

2的幂的减半幂运算

下面是我称之为2的幂的减半幂运算的规则：

2^a – 2^a-1 = 2^a-1

(2^a-1 的平方是2^a; 是2^a的一半。)

例如，2⁴ – 2³ = 2³, 和 2^-2 – 2^-3 = 2^-3.

同样，你通常不需要考虑幂运算的减法规则，但这里需要。减掉一半就等于减半，乘以1/2或除以2 — 都是2的幂. 本规则是2的幂的求积规则或求商规则（分别）的隐秘形式。下面是数学式：

2^a – 2^a-1 = 2^a – 2^a/2 = (2·2^a – 2^a)/2 = (2^a(2-1))/2 = 2^a/2 = 2^a-1 .

上面是啰嗦形式，为了更明确展示减半的过程；下面是简明形式：

2^a – 2^a-1 = 2^a-1(2-1) = 2^a-1

实例

在解决如下无限几何学式子时我会使用这些规则：

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + 1/32 – 1/64 + …

维基百科的解决方法是首先提取1/2:

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + 1/32 – 1/64 + …

= 1/2 (1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + …)

然后使用下面的公式来替换求和：

令 r = -1/2, 化简为

而我更直接。我不提取1/2,我从使用2的幂的减半规则来替换相邻元素入手：

1/2 − 1/4 = 1/4, 1/8 − 1/16 = 1/16, 1/32 – 1/64 = 1/64, …

最后剩下 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024, 写作

这次使用下面的公式来化简:

令r = 1/4, 得到

我喜欢我的证明因为使用的是正数r，这更容易理解。你可以把算式理解为二进制数 (0.01).