LeetCode: Binary Tree Maximum Path Sum [124]

【题目】

Given a binary tree, find the maximum path sum.

The path may start and end at any node in the tree.

For example:

Given the below binary tree,

       1
      /      2   3

Return 6.

【题意】

给定一棵二叉树，找出其中路径和最大的路径，然会返回最大路径和。

本题中的路径不是从根节点到叶子节点这样的传统的路径，而是指的二叉树中任意两个节点之间的联通路径。

【思路】

最直观的方法是找出任意两点之间的路径，然后选择和最大的路径。这种最笨的方法单单找两个节点之间的路径就要分4步走：

1. 找到根到节点A的路径  O(logn)

2. 找到根到节点B的路径  O(logn)

3. 找出AB节点的最近公共祖先 O(logn)

4. 计算途经最近公共祖先的路径和

则搜索两两节点之间的路径的复杂就是O(n^2 logn)， 显然是不可能接受的

为此，我们换个角度来看。根据上面的分析，要找两个节点A,B之间的路径，我们需要先找两个节点的最近公共祖先R。那么实际上，只要A和B分别位于R的左右两棵子树上，两点之间的路径都需要经过节点R。那么针对根为R的这棵子树，我们可以计算这棵子树上经过R的最大路径。而二叉树上每个节点都都可视为一棵子树的根，所以我们的求解目标变为：计算出每个节点上以此节点为转折点的最大路径。

那么这个最大路径怎么求呢？

我们假设要计算以R为转折点的最短路径，A和B分别是R的左孩子和右孩子，经过A和B的最大路径已知，如下：

path_left(A), path_right(A)分别表示以A为转折点的最小路径在A的左右子树上的两段，则以A为转折点的最小路径即为path_left(A)->A->path_right(A)

path_left(B), path_right(B)分别表示以B为转折点的最小路径在B的左右子树上的两段，则以B为转折点的最小路径即为path_left(B)->B->path_right(B)

那么经过R的最短路径就可以表示为：max(path_left(A), path_right(B)) -> A -> R -> B -> max(path_left(B), path_right(B))

所以，本题其实是一道典型的DP问题，上式即为迭代公式。

【代码】

/**
 * Definition for binary tree
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:

    int maxPath(int& maxSum, TreeNode *root){
        if(root==NULL)return 0;

        //计算来自左子树的最大路径和
        int maxLeft=maxPath(maxSum, root->left);
        //计算来自右子树的最大路径和
        int maxRight=maxPath(maxSum, root->right);
        //计算以当前节点为转折的最大路径和
        int curMaxSum=root->val;
        if(maxLeft>0)curMaxSum+=maxLeft;    //如果从左右孩子过来的最大和是负值，则连接到当前节点，负值会使合并后的路径和更小，因此只在路径和为正的时候再连接到当前节点，具体表现为路径和相加。
        if(maxRight>0)curMaxSum+=maxRight;
        //更新结果
        if(curMaxSum>maxSum)maxSum=curMaxSum;

        //同样需要考虑maxLeft和maxRight的正负
        int largerSum = max(maxLeft, maxRight);
        if(largerSum>0)return root->val+largerSum;
        else return root->val;
    }

    int maxPathSum(TreeNode *root) {
        if(root==NULL)return 0;
        int max=INT_MIN;
        maxPath(max, root);
        return max;
    }
};

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