斑点检测(LoG,DoG)(下)
LoG， DoG， 尺度归一化
上篇文章斑点检测(LoG,DoG)(上)介绍了基于二阶导数过零点的边缘检测方法，现在我们要探讨的是斑点检测。在边缘检测中，寻找的是二阶导数的零点，可是在斑点检测中寻找的是极值点，这是为什么呢？而且在使用二阶导数寻找斑点时不仅在图像上寻找极值点，还要求在尺度空间上也是极值点，又是为什么呢？还有为什么DoG是LoG的简化版本呢？？
这篇文章主要内容就是回答这三个问题。
From edges to blobs
对于阶跃信号，其二阶导数在对应跃变得位置会产生一个波，该波的过零点正对应着待检测的边缘位置。
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而所谓的斑点区域就是两条边形成的中间区域，如下图中，对于蓝色的目标区域，红色的椭圆就是在检测边缘，黑色的椭圆就是在检测斑点区域。
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那么边缘检测到斑点检测的过程对二阶导数有什么影响呢？
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这个示意图中上一行从左到右表示的是原始矩形脉冲信号，脉冲信号的周期越来越短，而下一行则表示对应周期在相同尺度下的LoG结果。可以发现总的LoG曲线其实是两条边界上产生的LoG函数的叠加，当两条边界足够小时，在该尺度脉冲下就被作为了blob，这时候LoG曲线的极值就对应着blob的中心。
所以边缘检测对应的是LoG的过零点，而斑点检测对应的是LoG的极值点。
这里我们可以发现判断是不是blob时，尺度非常重要，只有尺度大于一定值得时候blob才可以通过LoG的极值判定。
那么尺度该如何选择呢？
尺度的选择
先来看看同一个阶跃信号在不同尺度下的响应
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可以发现随着尺度的不断增大，LoG曲线由双波谷逐渐融合成单波谷，但是响应的幅值越来越弱。这是因为，随着尺度的增大，LoG算子的最大幅度逐渐减小，导致响应也随着尺度的增大而减小。
这种情况我们没法知道选定的尺度是否合适，进而不知道这个尺度下找到的极值点是不是对应着blob的中心点，万一是边缘产生波的极值点怎么办！所以我们这时候应该对进行LoG算在进行尺度的归一化。
下图给出了阶跃信号的一阶Gaussian滤波曲线
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可以发现对于稳定信号，响应的最大幅值是和
成正比的，那么为了消除尺度的影响，可以对一阶高斯滤波算子乘上个
,那么对于不同的尺度，其响应的强度就是相同的了。这里可以这么理解，在0点处积分结果为
是
的函数表示与尺度有关，乘上一个
之后就与尺度无关了，称为尺度的归一化。
而LoG算子是Gaussian 滤波的二阶导数，所以应该乘上个
做尺度归一化。
再来看看矩形脉冲在不同尺度经过尺度归一化后的响应
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可以发现当尺度等于脉冲宽度的一半的时候，不仅极值对应着blob的中心位置，而且这时候的响应强度比其他尺度响应强度都强。
那么我们在检测blob时就可以使用不同的尺度计算HoG响应，选择产生最强响应的尺度，在该尺度上对应的极值就是blob的中心位置了。
对于不同尺寸的blob，理想的尺度应该是多少呢？
理论表明，对于一个圆形blob，当二维LoG算子的零点值曲线和目标圆形边缘重合时取得最强响应。
下图是LoG剖面示意
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所以由LoG算子的目标式
可得最优尺寸为
.
在使用LoG算子进行Blob检测时，首先在不同尺寸上对图像进行LoG，然后检测在尺度空间和图像空间都是极值的点，就是blob区域的中心点。
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LoG to DoG
为什么DoG可以近似LoG使用呢？
先来看看归一化之后的LoG算子(该过程将高斯函数带入化简可得)
而高斯差分算子
所以
因为k-1是常量不影响函数极值点，所以检测归一化的LoG在尺度空间的极值，即近似于检测DoG空间的极值。
DoG进行Blob检测流程
首先使用不同尺度的高斯算子对图像进行平滑
其次计算相邻尺度下平滑图像的差分图像(DoG空间)
最后在DoG空间寻找极值点