【BZOJ】2118 墨墨的等式

【解析】最短路

[Overview]给定n个物品，每个物品有一个非负价值，问[L,R]区间内有多少价值可以被凑出来。

[Analysis]

这道题很多神犇的题解都写得模模糊糊的，貌似看了好久才弄懂，下面是原创啊。

生成函数？TLE。

对于区间[l,r]的答案，可以通过差分转化为 1到r的答案数 - 1到(l-1)的答案数。

注意这道题是求有多少个值能被凑出来，而不是有多少种方法，只要判断一个值行不行就可以了。

选取一个数x=p[rand()%n+1]，假设可以凑出值a满足 a mod x=b，0<=b<x。

假如凑出了a，一定能凑出a+x。

假如我们知道了对于每个b最小能凑出来的值a，

那么就能知道在余数b下共有(now-a)/x+1个不大于now的数可以被凑出。

且两个相同的值在mod x下一定有一样的余数，所以当b不同时，a一定也不同。

只要把所有b下的答案相加就是结果。

那么我们只要求出对于任意的b，a能取到的最小值。即：在mod x的余数分类为b中，所能凑出来的最小的价值。

这个东西用最短路就可以求出。

[Extended]如果每个物品有一个购买数量下限，怎样做？

解答：先把下限的值全部减掉，恢复到本题的询问。

[Sumup]

①静态的区间：差分的思想。

②缩小检索范围的方法：分类，分段。

③序列的计数是与最值联系在一起的，有时先需要分类才能存在最值。

④程序的强健性检查：注意最大值赋得对不对。

[Code]

/**************************************************************
    Problem: 2118
    User: y20070316
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1860 ms
    Memory:8616 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=13;
const int M=500001;
const LL MAX=10000000000000;

int n; LL BMin,BMax;
int p[N],vtx;
LL dis[M]; int q[M],h,t,v[M];

inline LL query(LL w)
{
    LL cnt=0;
    for (int i=0;i<vtx;i++)
        if (dis[i]<=w) cnt+=(w-dis[i])/vtx+1;
    return cnt;
}

int main(void)
{
    scanf("%d%lld%lld",&n,&BMin,&BMax);

    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
    vtx=p[1]; for (int i=2;i<=n;i++) if (vtx>p[i]) vtx=p[i];

    int now,nxt;
    for (int i=1;i<vtx;i++) dis[i]=MAX;
    v[q[t=1]=0]=1;
    for (;h^t;)
    {
        v[now=q[h=h%vtx+1]]=0;
        for (int r=1;r<=n;r++)
        {
            nxt=(dis[now]+p[r])%vtx;
            if (dis[now]+p[r]<dis[nxt])
            {
                dis[nxt]=dis[now]+p[r];
                if (!v[nxt])
                {
                    v[nxt]=1;
                    q[t=t%vtx+1]=nxt;
                }
            }
        }
    }

    printf("%lld\n",query(BMax)-query(BMin-1));

    return 0;
}

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