POJ 2533 Longest Ordered Subsequence(LIS:最长上升子序列)

http://poj.org/problem?id=2533

题意:

给你一个长度为n的数字序列, 要你求该序列中的最长(严格)上升子序列的长度.

分析:

解法一: O(n^2)复杂度.

令dp[i]==x 表示以第i个数字结尾的上升子序列中最长的为x长度.

初始化: dp[0]=0且dp[i]=1 i>=1时.

状态转移: dp[i] =max( dp[j]+1 ) 其中j<i 且a[j]<a[i].

最终所求:max(dp[i])  其中1<=i<=n.

解法二: O(n*logn)复杂度.

令g[i]==x表示当前遍历到的长度为i的所有最长上升子序列中的最小序列末尾值为x.(如果到目前为止,
根本不存在长i的上升序列,
那么x==INF无穷大)

假设当前遍历到了第j个值即a[j], 那么先找到g[n]数组的值a[j]的下确界(即第一个>=a[j]值的g[k]的k值).
那么此时表明存在长度为k-1的最长上升子序列且该序列末尾的位置<j且该序列末尾值<a[j].

那么我们可以令g[k]=a[j] 且 dp[i]=k (dp含义如解法1).

(上面一段花时间仔细理解)

最终我们可以找出下标最大的i使得: g[i]<INF 中i下标最大. 这个i就是LIS的长.

AC代码1: O(n^2)复杂度

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000+5;

int n;
int a[maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);

        int ans=0;//最终结果LIS长度
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=1;//注意这里
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                if(a[j]<a[i])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }

        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

AC代码1: O(n*logn)复杂度

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 1e8
using namespace std;
const int maxn=1000+5;

int n;
int a[maxn];
int g[maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);

        //初始化
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=INF;

        //DP递推
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g;
            dp[i]=k;
            g[k]=a[i];
        }

        int ans=0;
        for(int i=n;i>=1;i--)
            if(g[i]!=INF) { ans=i; break; }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}