二分图&网络流&最小割等问题的总结

二分图基础：

最大匹配：匈牙利算法

最小点覆盖=最大匹配

最小边覆盖=总节点数-最大匹配

最大独立集=点数-最大匹配

网络流：

带下界网络流

最小割问题的总结：

*意义

1.加inf的边表示不能被割，通常用于体现某个点必须属于某个集合

连边（s，u，w）代表如果u不在s割的话需要付出代价w

2.连边（u，v，w）代表如果u在s割，v在t割需要付出代价w 但注意，如果u在t割，v在s割是不需要付出代价的。 那么如果连边（u，v，w）以及（v，u，w）则说明当u与v所属割不同的时候需要付出代价w

*技巧

0.当求一些最大问题时，常常用sum减去代价

这个代价要求最小，于是可以用最小割解决

1.两个点i，j属于不同集合时付出val代价

新建点k (s,k,val) (k,i,inf) (k,j,inf)

当vals,valt不同时通常要新建点

但当相同时，可以直接（u，v，w）（v，u，w）表示不在一个集合就付出w代价

例题：BZOJ1497,BZOJ2127，BZOJ1934

2.两个点属于同一集合付出val代价

这个时候通常图的性质是二分图。（求打脸

然后我们可以将两部点的性质翻转一下，即左部点连s表示选，右部点连t表示选。

所以转化后问题变为了第一个。且只需 （i，j,val) (j,i,val)

例题：BZOJ1976,BZOJ2132,BZOJ3275

有难度的题目：

SRM558 Div1 C

解法：

一个点拆成x1,x2,分别表示自己是否有石头，周围是否有石头

x1收益v-c,x2收益v,将可能的收益加起来，减去最小代价

若两者同时选，付出v的代价

若对于相邻格子x,y  x2满足而y1不满足，付出代价inf