描述
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1901
给出一个长度为n的数列A,有m次询问,询问分两种:1.修改某一位置的值;2.求区间[l,r]内的第k小的值.
分析
对于只有第一种询问的问题: POJ_2104_Kth(主席树)
现在要求动态.我们思考这样一个问题:把求区间第k小的问题变成求区间和值的问题,这个好解决吧?对于静态的问题,我们使用前缀和即可解决,那么对于动态的呢?使用树状数组维护前缀和.那么现在把问题变回求区间第k小值的问题.对于静态的问题,我们还是使用前缀和的思想,不过这一次每个前缀和不再是代表[1,i]的和值,而是[1,i]的一棵线段树,然后找到区间左右断点,相减即可得到答案.者可以理解为"前缀和套线段树",并且我们使用可持久化的思想大大减小空间开销.那么对于动态的问题,我们还是使用树状数组的思想,不过这一次每个点不再代表[i-lowbit(i)+1,i]的和值,而是代表[i-lowbit[i]+1,i]的一棵线段树.问题就迎刃而解了.
注意:
1.这里的每一个点代表的主席树刚开始都是由root[i](=0)建立的,之后修改的时候已有的就不需要再建立了.由于主席树的空间需求不好估计(对于这样的问题,空间的上界是(n+m)(logn*logn),但实际上远远用不到),虽然也可以写成每次修改无论之前有没有都直接复制一份,但是在空间不确定的情况下,写成前一种不容易爆炸.
1 #include <cstdio>
2 #include <algorithm>
3 using namespace std;
4
5 const int maxn=10000+5;
6 struct node{ int l,r,s; }t[maxn*400];
7 struct qry{ int a,b,c; }q[maxn];
8 int n,m,cnt,tot,num;
9 int a[maxn],b[maxn<<1],root[maxn],L[maxn],R[maxn];
10
11 inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }
12 void update(int l,int r,int &pos,int d,int s){
13 if(!pos)t[++cnt]=t[pos], pos=cnt;
14 t[pos].s+=s;
15 if(l==r) return;
16 int mid=(l+r)/2;
17 if(d<=mid) update(l,mid,t[pos].l,d,s);
18 else update(mid+1,r,t[pos].r,d,s);
19 }
20 void change(int x,int d,int s){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) update(1,num,root[x],d,s); }
21 int query(int l,int r,int k,int cl,int cr){
22 if(l==r) return l;
23 int suml=0,sumr=0;
24 for(int i=1;i<=cl;i++) suml+=t[t[L[i]].l].s;
25 for(int i=1;i<=cr;i++) sumr+=t[t[R[i]].l].s;
26 int s=sumr-suml,mid=(l+r)/2;
27 if(k<=s){
28 for(int i=1;i<=cl;i++) L[i]=t[L[i]].l;
29 for(int i=1;i<=cr;i++) R[i]=t[R[i]].l;
30 return query(l,mid,k,cl,cr);
31 }
32 else{
33 for(int i=1;i<=cl;i++) L[i]=t[L[i]].r;
34 for(int i=1;i<=cr;i++) R[i]=t[R[i]].r;
35 return query(mid+1,r,k-s,cl,cr);
36 }
37 }
38 int get_ans(int l,int r,int k){
39 int cl,cr;
40 for(cl=0;l>0;l-=lowbit(l)) L[++cl]=root[l];
41 for(cr=0;r>0;r-=lowbit(r)) R[++cr]=root[r];
42 return query(1,num,k,cl,cr);
43 }
44 int main(){
45 scanf("%d%d",&n,&m);
46 char c;
47 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), b[++tot]=a[i];
48 for(int i=1;i<=m;i++){
49 for(c=getchar();c<‘A‘||c>‘Z‘;c=getchar());
50 scanf("%d%d",&q[i].a,&q[i].b);
51 if(c==‘Q‘) scanf("%d",&q[i].c);
52 else b[++tot]=q[i].b;
53 }
54 sort(b+1,b+1+tot);
55 b[tot+1]=0x7fffffff;
56 for(int i=1;i<=tot;i++) if(b[i]!=b[i+1]) b[++num]=b[i];
57 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+1+num,a[i])-b;
58 for(int i=1;i<=n;i++) change(i,a[i],1);
59 for(int i=1;i<=m;i++){
60 if(q[i].c) printf("%d\n",b[get_ans(q[i].a-1,q[i].b,q[i].c)]);
61 else{
62 change(q[i].a,a[q[i].a],-1);
63 a[q[i].a]=lower_bound(b+1,b+1+num,q[i].b)-b;
64 change(q[i].a,a[q[i].a],1);
65 }
66 }
67 return 0;
68 }
前一种
1 #include <cstdio>
2 #include <algorithm>
3 using namespace std;
4
5 const int maxn=10000+5;
6 struct node{ int l,r,s; }t[maxn*400];
7 struct qry{ int a,b,c; }q[maxn];
8 int n,m,cnt,tot,num;
9 int a[maxn],b[maxn<<1],root[maxn],L[maxn],R[maxn];
10
11 inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }
12 void update(int l,int r,int &pos,int d,int s){
13 t[++cnt]=t[pos]; t[cnt].s+=s; pos=cnt;
14 if(l==r) return;
15 int mid=(l+r)/2;
16 if(d<=mid) update(l,mid,t[pos].l,d,s);
17 else update(mid+1,r,t[pos].r,d,s);
18 }
19 void change(int x,int d,int s){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) update(1,num,root[x],d,s); }
20 int query(int l,int r,int k,int cl,int cr){
21 if(l==r) return l;
22 int suml=0,sumr=0;
23 for(int i=1;i<=cl;i++) suml+=t[t[L[i]].l].s;
24 for(int i=1;i<=cr;i++) sumr+=t[t[R[i]].l].s;
25 int s=sumr-suml,mid=(l+r)/2;
26 if(k<=s){
27 for(int i=1;i<=cl;i++) L[i]=t[L[i]].l;
28 for(int i=1;i<=cr;i++) R[i]=t[R[i]].l;
29 return query(l,mid,k,cl,cr);
30 }
31 else{
32 for(int i=1;i<=cl;i++) L[i]=t[L[i]].r;
33 for(int i=1;i<=cr;i++) R[i]=t[R[i]].r;
34 return query(mid+1,r,k-s,cl,cr);
35 }
36 }
37 int get_ans(int l,int r,int k){
38 int cl,cr;
39 for(cl=0;l>0;l-=lowbit(l)) L[++cl]=root[l];
40 for(cr=0;r>0;r-=lowbit(r)) R[++cr]=root[r];
41 return query(1,num,k,cl,cr);
42 }
43 int main(){
44 scanf("%d%d",&n,&m);
45 char c;
46 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), b[++tot]=a[i];
47 for(int i=1;i<=m;i++){
48 for(c=getchar();c<‘A‘||c>‘Z‘;c=getchar());
49 scanf("%d%d",&q[i].a,&q[i].b);
50 if(c==‘Q‘) scanf("%d",&q[i].c);
51 else b[++tot]=q[i].b;
52 }
53 sort(b+1,b+1+tot);
54 b[tot+1]=0x7fffffff;
55 for(int i=1;i<=tot;i++) if(b[i]!=b[i+1]) b[++num]=b[i];
56 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+1+num,a[i])-b;
57 for(int i=1;i<=n;i++) change(i,a[i],1);
58 for(int i=1;i<=m;i++){
59 if(q[i].c) printf("%d\n",b[get_ans(q[i].a-1,q[i].b,q[i].c)]);
60 else{
61 change(q[i].a,a[q[i].a],-1);
62 a[q[i].a]=lower_bound(b+1,b+1+num,q[i].b)-b;
63 change(q[i].a,a[q[i].a],1);
64 }
65 }
66 return 0;
67 }
后一种
另外这题可以用线段树套平衡树做(貌似树状数组套平衡树也是可以的?树状数组不太熟啊...)
1 #include <cstdio>
2 #include <cstdlib>
3 #include <algorithm>
4 using namespace std;
5
6 const int maxn=10000+5,oo=~0u>>1;
7 int n,q;
8 int a[maxn];
9 char str[3];
10 struct Treap{
11 struct node{
12 node* ch[2];
13 int v,r,s,c;
14 node(int v,node* t):v(v){ ch[0]=ch[1]=t; r=rand(); s=c=1; }
15 void push_up(){ s=ch[0]->s+ch[1]->s+c; }
16 }*root,*null;
17 Treap(){
18 null=new node(0,NULL);
19 null->c=null->s=0; null->r=oo;
20 root=null;
21 }
22 void rotate(node* &o,bool d){
23 node* k=o->ch[!d]; o->ch[!d]=k->ch[d]; k->ch[d]=o;
24 o->push_up(); k->push_up(); o=k;
25 }
26 void insert(node* &o,int x){
27 if(o==null) o=new node(x,null);
28 else{
29 if(x==o->v) o->s++, o->c++;
30 else{
31 bool d=x>o->v;
32 insert(o->ch[d],x);
33 if(o->ch[d]->r<o->r) rotate(o,!d);
34 o->push_up();
35 }
36 }
37 }
38 void remove(node* &o,int x){
39 if(o->v==x){
40 if(o->c>1) o->c--, o->s--;
41 else{
42 if(o->ch[0]!=null&&o->ch[1]!=null){
43 bool d=o->ch[0]->r<o->ch[1]->r;
44 rotate(o,d); remove(o->ch[d],x); o->push_up();
45 }
46 else{
47 node* u=o;
48 o=o->ch[0]==null?o->ch[1]:o->ch[0];
49 delete u;
50 }
51 }
52 }
53 else{
54 bool d=x>o->v;
55 remove(o->ch[d],x);
56 o->push_up();
57 }
58 }
59 int rank(int x){
60 int ret=0;
61 for(node* t=root;t!=null;){
62 int s=t->ch[0]->s+t->c;
63 if(x>t->v) ret+=s, t=t->ch[1];
64 else t=t->ch[0];
65 }
66 return ret;
67 }
68 int pre(int x){
69 int ret=-oo;
70 for(node* t=root;t!=null;){
71 if(t->v<x) ret=t->v, t=t->ch[1];
72 else t=t->ch[0];
73 }
74 return ret;
75 }
76 };
77 struct Segment_Tree{
78 Treap tree[maxn*4];
79 void build_tree(int l,int r,int k){
80 for(int i=l;i<=r;i++) tree[k].insert(tree[k].root,a[i]);
81 if(l==r) return;
82 int mid=l+(r-l)/2;
83 build_tree(l,mid,k<<1); build_tree(mid+1,r,k<<1|1);
84 }
85 int get_rank(int l,int r,int k,int x,int y,int X){
86 if(l==x&&r==y) return tree[k].rank(X);
87 int mid=l+(r-l)/2;
88 if(y<=mid) return get_rank(l,mid,k<<1,x,y,X);
89 else if(x>mid) return get_rank(mid+1,r,k<<1|1,x,y,X);
90 else return get_rank(l,mid,k<<1,x,mid,X)+get_rank(mid+1,r,k<<1|1,mid+1,y,X);
91 }
92 void change(int l,int r,int k,int id,int x){
93 tree[k].remove(tree[k].root,a[id]);
94 tree[k].insert(tree[k].root,x);
95 if(l==r) return;
96 int mid=l+(r-l)/2;
97 if(id<=mid) change(l,mid,k<<1,id,x);
98 else change(mid+1,r,k<<1|1,id,x);
99 }
100 int get_pre(int l,int r,int k,int x,int y,int X){
101 if(l==x&&r==y) return tree[k].pre(X);
102 int mid=l+(r-l)/2;
103 if(y<=mid) return get_pre(l,mid,k<<1,x,y,X);
104 else if(x>mid) return get_pre(mid+1,r,k<<1|1,x,y,X);
105 else return max(get_pre(l,mid,k<<1,x,mid,X),get_pre(mid+1,r,k<<1|1,mid+1,y,X));
106 }
107 int get_kth(int x,int y,int k){
108 long long l=-oo,r=oo;
109 while(l<r){
110 int mid=(int)(l+(r-l)/2);
111 int tmp=get_rank(1,n,1,x,y,mid)+1;
112 if(tmp<=k) l=mid+1;
113 else r=mid;
114 }
115 return get_pre(1,n,1,x,y,l);
116 }
117 }T;
118
119 int main(){
120 scanf("%d%d",&n,&q);
121 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
122 T.build_tree(1,n,1);
123 for(int i=1;i<=q;i++){
124 scanf("%s",str);
125 int l,r,k,id,x;
126 if(str[0]==‘Q‘){
127 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
128 printf("%d\n",T.get_kth(l,r,k));
129 }
130 else{
131 scanf("%d%d",&id,&x);
132 T.change(1,n,1,id,x);
133 a[id]=x;
134 }
135 }
136 return 0;
137 }
线段树+Treap
时间： 2024-10-07 16:06:32