给定一个物品集合s＝｛1，2，3，…，n｝，物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量为W，即最大载重量不超过W。在限定的总重量W内，我们如何选择物品，才能使得物品的总价值最大。
如果物品不能被分割，即物品i要么整个地选取，要么不选取；
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品i，则该问题称为0—1背包问题。
如果物品可以拆分，则问题称为背包问题，适合使用贪心算法
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解:
证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有 ∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n) 且 w1y1+ ∑wizi<= c 因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n) 说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。
递推关系：
设所给0-1背包问题的子问题
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式: 
注:(3.4.3)式此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之一: (1)背包剩余容量是j,没产生任何效益； (2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ； （3） 对于最后一个物品n ， 如果 j>=Wn，则肯定装入， 获得价值Vn; 如果0<=j < Wn,则无法装入， 获得的价值为 0 。
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 using namespace std;
4
5 #define NUM 50 //物品数量的上界
6 #define CAP 1500 //背包容量的上界
7 int v[NUM]; //物品的重量
8 int w[NUM]; //物品的价值
9 int p[NUM][CAP]; //用于递归的数组。
10 //形参 c 是背包的容量 W，n是物品的数量。
11 void knapsack(int c, int n)
12 {
13 //计算递推边界
14 int jMax=min(w[n]-1,c); //分界点。
15 for( int j=0; j<=jMax; j++)
16 p[n][j]=0;
17 for( int j=w[n]; j<=c; j++)
18 p[n][j]=v[n];
19 for( int i=n-1; i>1; i--)//计算递推式
20 {
21 jMax=min(w[i]-1,c);
22 for( int j=0; j<=jMax; j++)
23 p[i][j]=p[i+1][j];
24 for(int j=w[i]; j<=c; j++)
25 p[i][j]=max(p[i+1][j], p[i+1][j-w[i]]+v[i]);
26 }
27 p[1][c]=p[2][c]; //计算最优值。
28 if (c>=w[1])
29 p[1][c]=max(p[1][c], p[2][c-w[1]]+v[1]);
30 }
31 //形参数组 x 是解向量。
32 void traceback( int c, int n, int x[])
33 {
34 for(int i=1; i<n; i++)
35 {
36 if (p[i][c]==p[i+1][c]) x[i]=0;
37 else { x[i]=1; c-=w[i]; }
38 }
39 x[n]= (p[n][c]) ? 1:0;
40 }
41
42 int main ()
43 {
44 int x[NUM];
45 int W;
46 int n;
47 while (scanf("%d", &W) && W)
48 {
49 scanf("%d", &n);
50 for (int i=1; i<=n; i++)
51 scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
52 memset (p, 0, sizeof(p));
53 knapsack(W, n);
54 printf("%d\n", p[1][W]);
55 traceback(W, n, x);
56 for (int i=1; i<=n; i++)
57 if (x[i]) printf("%d ", i);
58 printf("\n");
59 }
60 return 0;
61 }