本文用讲一下指定分布的随机抽样方法：MC(Monte Carlo), MC(Markov Chain), MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的基本原理，并用R语言实现了几个样例：
1. Markov Chain （马尔科夫链）
2. Random Walk（随机游走）
3. MCMC详细方法：
3.1 M-H法
3.2 Gibbs採样
PS：本篇blog为ese机器学习短期班參考资料（20140516课程），课上讲详述。
以下三节分别就前面几点简要介绍基本概念，并附上代码。这里的概念我会用最最naive的话去概括，详细内容就看我最下方推荐的链接吧(*^__^*)
0. MC(Monte Carlo)
生成指定分布的随机数的抽样。
1. Markov Chain （马尔科夫链）
如果 f(t) 是一个时间序列，Markov Chain是如果f(t+1)仅仅与f(t)有关的随机过程。
Implement in R:
#author: rachel @ ZJU
#email: [email protected]
N = 10000
signal = vector(length = N)
signal[1] = 0
for (i in 2:N)
{
# random select one offset (from [-1,1]) to signal[i-1]
signal[i] = signal[i-1] + sample(c(-1,1),1)
}
plot( signal,type = ‘l‘,col = ‘red‘)
2. Random Walk（随机游走）
如布朗运动，仅仅是上面Markov Chain的二维拓展版：
Implement in R:
#author: rachel @ ZJU
#email: [email protected]
N = 100
x = vector(length = N)
y = vector(length = N)
x[1] = 0
y[1] = 0
for (i in 2:N)
{
x[i] = x[i-1] + rnorm(1)
y[i] = y[i-1] + rnorm(1)
}
plot(x,y,type = ‘l‘, col=‘red‘)
3. MCMC详细方法：
MCMC方法最早由Metropolis（1954）给出，后来Metropolis的算法由Hastings改进，合称为M-H算法。M-H算法是MCMC的基础方法。由M-H算法演化出了很多新的抽样方法，包含眼下在MCMC中最经常使用的Gibbs抽样也能够看做M-H算法的一个特例[2]。
概括起来，MCMC基于这种理论，在满足【平衡方程】（detailed balance equation）条件下，MCMC能够通过非常长的状态转移到达稳态。
【平衡方程】：
pi(x) * P(y|x) = pi(y) * P(x|y)
当中pi指分布，P指概率。这个平衡方程也就是表示条件概率（转化概率）与分布乘积的均衡.
3.1 M-H法
1. 构造目标分布，初始化x0
2. 在第n步，从q(y|x_n) 生成新状态y
3. 以一定概率（(pi(y) * P(x_n|y)) / (pi(x) * P(y|x_n))）接受y <PS: 看看上面的平衡方程，这个概率表示什么呢？參考这里和[1]>
implementation in R:
#author: rachel @ ZJU
#email: [email protected]
N = 10000
x = vector(length = N)
x[1] = 0
# uniform variable: u
u = runif(N)
m_sd = 5
freedom = 5
for (i in 2:N)
{
y = rnorm(1,mean = x[i-1],sd = m_sd)
print(y)
y = rt(1,df = freedom)
p_accept = dnorm(x[i-1],mean = y,sd = abs(2*y+1)) / dnorm(y, mean = x[i-1],sd = abs(2*x[i-1]+1))
#print (p_accept)
if ((u[i] <= p_accept))
{
x[i] = y
print("accept")
}
else
{
x[i] = x[i-1]
print("reject")
}
}
plot(x,type = ‘l‘)
dev.new()
hist(x)
3.2 Gibbs採样
第n次，Draw 
from 
，迭代採样结果接近真实p(\theta_1, \theta_2, ...)
也就是每一次都是固定其它參数，对一个參数进行採样。比方对于二元正态分布，其两个分量的一元条件分布仍满足正态分布：
那么在Gibbs採样中对其迭代採样的过程，实现例如以下：
#author: rachel @ ZJU
#email: [email protected]
#define Gauss Posterior Distribution
p_ygivenx <- function(x,m1,m2,s1,s2)
{
return (rnorm(1,m2+rho*s2/s1*(x-m1),sqrt(1-rho^2)*s2 ))
}
p_xgiveny <- function(y,m1,m2,s1,s2)
{
return (rnorm(1,m1+rho*s1/s2*(y-m2),sqrt(1-rho^2)*s1 ))
}
N = 5000
K = 20 #iteration in each sampling
x_res = vector(length = N)
y_res = vector(length = N)
m1 = 10; m2 = -5; s1 = 5; s2 = 2
rho = 0.5
y = m2
for (i in 1:N)
{
x = p_xgiveny(y, m1,m2,s1,s2)
y = p_ygivenx(x, m1,m2,s1,s2)
# print(x)
x_res[i] = x;
y_res[i] = y;
}
hist(x_res,freq = 1)
dev.new()
plot(x_res,y_res)
library(MASS)
valid_range = seq(from = N/2, to = N, by = 1)
MVN.kdensity <- kde2d(x_res[valid_range], y_res[valid_range], h = 10) #预计核密度
plot(x_res[valid_range], y_res[valid_range], col = "blue", xlab = "x", ylab = "y")
contour(MVN.kdensity, add = TRUE)#二元正态分布等高线图
#real distribution
# real = mvrnorm(N,c(m1,m2),diag(c(s1,s2)))
# dev.new()
# plot(real[1:N,1],real[1:N,2])
x分布图：
(x,y)分布图：
Reference:
1. http://www2.isye.gatech.edu/~brani/isyebayes/bank/handout10.pdf
2. http://site.douban.com/182577/widget/notes/10567181/note/292072927/
3. book: http://statweb.stanford.edu/~owen/mc/
4. Classic： http://cis.temple.edu/~latecki/Courses/RobotFall07/PapersFall07/andrieu03introduction.pdf
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MC, MCMC, Gibbs採样 原理&实现（in R）