有n个区间自下而上有顺序的排列，标号\(1\sim n\)，第i个区间记做\([l_i,r_i]\)，现在从第n个区间的起点s出发（显然s在\([l_n,r_n]\)内），每次可以选择移动到所在区间的左端点或者右端点，然后跳下去，到达第一个碰到的区间，继续进行相同操作，定义第0个区间为无限延伸，求到第0个区间的位置0的最小水平移动距离，\(n\leq 50000,-1000000\leq l_i,r_i\leq 100000\)。
解
思路一
注意到每个区间到达另一个区间类似图，于是可以通过线段树维护，建出这张图，跑spfa或者dijsktra。
思路二
以区间为状态，设\(f[i][0/1]\)分别表示到达第i个区间左端点和右端点的最小水平移动距离，显然有
\[f[i][0]=\min_{i<j\leq n}\{f[j][0]+l_j-l_i(l_i\leq l_j\leq r_i),f[j][1]+r_j-l_i(l_i\leq r_j\leq r_i)\}\]
\[f[i][1]=\min_{i<j\leq n}\{f[j][0]+r_i-l_j(l_i\leq l_j\leq r_i),f[j][1]+r_i-r_j(l_i\le r_j\leq r_i)\}\]
注意被用过的决策点不能再使用
边界：\(f[n][0]=s-l_n,f[n][1]=r_n-s\)
答案：合法的可以到达此处的决策，具体看代码
于是注意到需要决策点的合法，于是考虑线段树+离散化维护
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
#define Size 50050
#define intmax 33686018
#define v0 (void)0
using namespace std;
template<class free>
il free Min(free,free);
struct lsh{
int a[Size],b[Size],n;
il void prepare(int len,int ar[]){
n=len;for(int i(1);i<=n;++i)a[i]=ar[i];
sort(a+1,a+n+1);for(int i(1);i<=n;++i)b[i]=dfs(ar[i]);
}
il int dfs(int x){
int l(1),mid,r(n);
while(l<=r){
mid=l+r>>1;
if(a[mid]<x)l=mid+1;
else r=mid-1;
}return l;
}
il int dfs_(int x){
int l(1),mid,r(n);
while(l<=r){
mid=l+r>>1;
if(a[mid]>x)r=mid-1;
else l=mid+1;
}return l;
}
}L,R;
struct segment_tree{
struct DATA{
bool a;
int l,r,d;
}t[Size<<2];
void build(int p,int l,int r){
t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].d=intmax;
if(l==r)return;int mid(l+r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1);
build(pl,l,mid),build(pr,mid+1,r);
}
il void spread(int p){
if(t[p].a){
int pl(p<<1),pr(pl|1);
t[p].a=0,t[pl].a=t[pr].a=1;
t[pl].d=t[pr].d=t[p].d;
}
}
void change(int p,int l,int r,int v){
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p].a=1,t[p].d=v,v0;
spread(p);int mid(t[p].l+t[p].r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1);
if(l<=mid)change(pl,l,r,v);if(mid<r)change(pr,l,r,v);
t[p].d=Min(t[pl].d,t[pr].d);
}
int ask(int p,int l,int r){
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p].d;
int mid(t[p].l+t[p].r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1),ans(intmax);
spread(p);if(l<=mid)ans=Min(ans,ask(pl,l,r));
if(mid<r)ans=Min(ans,ask(pr,l,r));return ans;
}
}l0,l1,r0,r1;
int l[Size],r[Size],dp[Size][2];
il void read(int&);
int main(){
int n,s;read(n),read(s);
for(int i(1);i<=n;++i)
read(l[i]),read(r[i]);
L.prepare(n,l),R.prepare(n,r);
memset(dp,2,sizeof(dp));
dp[n][0]=s-l[n],dp[n][1]=r[n]-s;
l0.build(1,1,n),r0.build(1,1,n);
l1.build(1,1,n),r1.build(1,1,n);
l0.change(1,L.b[n],L.b[n],dp[n][0]+l[n]);
r0.change(1,L.b[n],L.b[n],dp[n][0]-l[n]);
l1.change(1,R.b[n],R.b[n],dp[n][1]+r[n]);
r1.change(1,R.b[n],R.b[n],dp[n][1]-r[n]);
for(int i(n-1),j,k;i;--i){
j=L.dfs(l[i]),k=L.dfs_(r[i])-1;
if(j<=k){
dp[i][0]=Min(dp[i][0],l0.ask(1,j,k));
dp[i][1]=Min(dp[i][1],r0.ask(1,j,k));
l0.change(1,j,k,intmax),r0.change(1,j,k,intmax);
}
j=R.dfs(l[i]),k=R.dfs_(r[i])-1;
if(j<=k){
dp[i][0]=Min(dp[i][0],l1.ask(1,j,k));
dp[i][1]=Min(dp[i][1],r1.ask(1,j,k));
l1.change(1,j,k,intmax),r1.change(1,j,k,intmax);
}dp[i][0]-=l[i],dp[i][1]+=r[i];
l0.change(1,L.b[i],L.b[i],dp[i][0]+l[i]);
r0.change(1,L.b[i],L.b[i],dp[i][0]-l[i]);
l1.change(1,R.b[i],R.b[i],dp[i][1]+r[i]);
r1.change(1,R.b[i],R.b[i],dp[i][1]-r[i]);
}int j,k,ans(intmax);j=L.dfs(0),k=R.dfs(0);
if(j<=n)ans=Min(ans,l0.ask(1,j,n));
if(k<=n)ans=Min(ans,l1.ask(1,k,n));--j,--k;
if(j)ans=Min(ans,r0.ask(1,1,j));
if(k)ans=Min(ans,r1.ask(1,1,k));
printf("%d",ans);
return 0;
}
il void read(int &x){
x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c==' '||c=='\n'||c=='\r');
ri bool check(false);if(c=='-')check|=true,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
if(check)x=-x;
}
template<class free>
il free Min(free a,free b){
return a<b?a:b;
}思路三
注意到思路二枚举了太多了不合法的状态，而且状态被用过还不能再用了，于是考虑倒推，设\(f[i][0/1]\)分别表示从第i个区间到达终点的最短水平移动距离，那么有
\[f[i][0]=\min_{1\leq j<i,l_j\leq l_i\leq r_j}(f[j][0]+l_i-l_j,f[j][1]+r_j-l_i)\]
\[f[i][1]=\min_{1\leq j<i,l_j\leq r_i\leq r_j}(f[]j[0]+r_i-l_j,f[j][1]+r_j-r_i)\]
而且每个状态对应的决策点只有一组，于是可以考虑线段树维护每个位置可对应的决策点，而位置范围只有2000000，于是直接暴力建树即可，这样建的树只要一棵。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define Size 50050
#define v0 (void)0
using namespace std;
struct segment_tree{
struct DATA{
bool is;
int l,r,d;
}t[800000];
void build(int p,int l,int r){
t[p].l=l,t[p].r=r;if(l==r)return;
int mid(l+r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1);
t[p].d=-1,build(pl,l,mid),build(pr,mid+1,r);
}
il void spread(int p){
if(t[p].is){
int pl(p<<1),pr(pl|1);
t[p].is=0,t[pl].is=t[pr].is=1;
t[pl].d=t[pr].d=t[p].d;
}
}
void change(int p,int l,int r,int v){
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p].d=v,t[p].is=1,v0;
spread(p);int mid(t[p].l+t[p].r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1);
if(l<=mid)change(pl,l,r,v);if(mid<r)change(pr,l,r,v);
t[p].d=-1;
}
int ask(int p,int x){
if(t[p].d>=0)return t[p].d;spread(p);
int mid(t[p].l+t[p].r>>1),pl(p<<1),pr(pl|1);
return mid<x?ask(pr,x):ask(pl,x);
}
}S;
int l[Size],r[Size],dp[Size][2];
il void read(int&);
template<class free>il free Abs(free);
template<class free>il free Min(free,free);
int main(){
int n,s;
read(n),read(s),S.build(1,-100000,100000);
for(int i(1);i<=n;++i)read(l[i]),read(r[i]);
for(int i(1),j;i<=n;++i){
//read(l[i]),read(r[i]);
j=S.ask(1,l[i]);
if(j)dp[i][0]=Min(dp[j][0]+l[i]-l[j],dp[j][1]+r[j]-l[i]);
else dp[i][0]=Abs(l[i]);j=S.ask(1,r[i]);
if(j)dp[i][1]=Min(dp[j][0]+r[i]-l[j],dp[j][1]+r[j]-r[i]);
else dp[i][1]=Abs(r[i]);S.change(1,l[i],r[i],i);
}printf("%d",Min(s-l[n]+dp[n][0],r[n]-s+dp[n][1]));
return 0;
}
template<class free>
il free Abs(free x){
return x<0?-x:x;
}
template<class free>
il free Min(free a,free b){
return a<b?a:b;
}
il void read(int &x){
x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c==' '||c=='\n'||c=='\r');
ri bool check(false);if(c=='-')check|=true,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
if(check)x=-x;
}原文地址：https://www.cnblogs.com/a1b3c7d9/p/11031203.html
时间： 2024-10-20 12:35:43