目录

• 复变函数的积分
  • 1. 有关的几个定理与公式
    • 1.1 C-R 方程
    • 1.2 C-G 定理
    • 1.3 圈圈公式
    • 1.4 复合闭路定理
    • 1.5 Cauchy积分公式
    • 1.6 高阶导数公式
    • 1.7 Laplace方程
  • 2. 常见形式的复变函数积分
    • [A] \(\int_cf(z)dz\) : 简单非闭合曲线积分
    • [B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函数闭合曲线积分
    • [C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点
    • [C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点
    • [D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点
    • [D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点
    • [D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点
    • [D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点
  • 3. 调和函数与偏微分法

复变函数的积分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/1

1. 有关的几个定理与公式

1.1 C-R 方程

Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，对于 \(f(z) = u + iv\)

\[
\frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x}
\]

1.2 C-G 定理

Cauchy Goursat theorem - 柯西古萨定理，对于 \(f(z)\) 在D内解析

\[
\oint_cf(z)dz=0
\]

1.3 圈圈公式

\(c : |z-z_0|=r\)

\[
\oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases}
\]

1.4 复合闭路定理

\(c\) 含 \(n\) 个奇点，每个奇点可以画个 \(c_k\) 小圆，\(k=1,2,...,n\)

\[
\oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz
\]

1.5 Cauchy积分公式

\(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续

\[
\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0)
\]

1.6 高阶导数公式

\[
f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
\]

1.7 Laplace方程

拉普拉斯方程，对于函数 \(\phi(x, y)\)

\[
\frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0
\]

2. 常见形式的复变函数积分

[A] \(\int_cf(z)dz\) : 简单非闭合曲线积分

一般题目所给出的积分路径 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析区域内或 \(f(z)\) 全平面解析，根据 C-G定理，积分与路径无关，转为x,y重积分

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)

\(z = t+it^3\)

\(f(z) = t-it^3\)

\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)

[B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函数闭合曲线积分

若在解析区域， C-G定理

\[
\oint_C f(z)dz = 0
\]

[C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点

[圈圈公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

[C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

[D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点

[ 圈圈公式 + Cauchy积分公式 ]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

[D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

[D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

[D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + 复合闭路定理 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\)

3. 调和函数与偏微分法

调和函数 \(\phi(x, y)\)

• 在区域内具有二阶连续偏导
• 符合Laplace方程

[C-R方程]\(\Downarrow\)

区域内的解析函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 实部与虚部均为调和函数

区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数

偏微分法

通过 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通过 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\)

原文地址：https://www.cnblogs.com/benjamin142857/p/9775792.html