【Ray Tracing in One Weekend 超详解】 光线追踪1-10

《Ray Tracing in One Weekend》完结篇

最近课程上机实验，封面图渲染时间也超长，所以写东西就落下了，见谅

这篇之后，我会继续《Ray Tracing The Next Week》，还请多多关注

这几天我在渲染这本书的封面图，封面图还没出，不算结束，刚好安排了10节

今天呢，有两件事：

1.阐述整个工程的文件组织即内容

2.阐述封面，完结

12.1工程文件组织

试过很多方法，问过很多老师，无奈，子类继承实现的父类纯虚函数实在无法和类声明分成两个文件（即声明放于.h，其他实现放在.cpp中），室友说，纯虚函数继承实现和模板很类似

所以，我们在合适的时候使用hpp

在学习过程中，我们遇到了诸如反射、折射之类的函数，它们并不应该属于某个具体子类，或者抽象基类

所以，我把它们写在了泛型3D数学库里面了

C++泛型3D数学库是我们学光线追踪的数学专用库了吧算是

向量库

基础光学几何函数库

在回头看我们的光线追踪的项目代码

1.工程定义文件

我们之前是在ray这个最基本的类中定义了一些基本的命名，尔后，发现，所有的东西都要用ray::val_type诸如此类的代码去描述光线追踪所用到的一些普遍类型，这个非常麻烦，代码也长，后来，我们将它们移出了ray-class，放在了namespace rt中，但是，仍然放在ray文件中，这个很不合理，所以我们定义了一个RTdef.h，专门用于定义一些光线追踪的常量和命名

/// RTdef.h

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2019.1.1
// [brief ]        the basic concept of rt
// -----------------------------------------------------
#pragma once

#include <lvgm\type_vec\type_vec.h>        //https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10163085.html
#include <lvgm\opticsfunc.hpp>            //https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10241904.html
#include <lvgm\randfunc.hpp>            //https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10241904.html

namespace rt
{
    using rtvar = lvgm::precision;

    using rtvec = lvgm::vec3<rtvar>;

    constexpr static rtvar rtInf() { return static_cast<rtvar>(0x3f3f3f3f); }        //最大值

    constexpr rtvar π = 3.1415926;

}

2.光线类

/// ray.h

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        the ray-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------
#pragma once

#include "RTdef.h"

namespace rt
{

    class ray
    {
    public:
        ray()
            :_a{ rtvec() }
            , _b{ rtvec() }
        {  }

        ray(const rtvec& a, const rtvec& b)
            :_a(a)
            , _b(b)
        {  }

        ray(const ray& r)
            :_a(r._a)
            , _b(r._b)
        {    }

        inline rtvec origin()const { return _a; }

        inline rtvec direction()const { return _b; }

        inline rtvec go(const rtvar t)const { return _a + t * _b; }

    private:
        rtvec _a;

        rtvec _b;

    };
}

3.相机类

/// camera.h
//https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10221058.html
// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2019.1
// [brief ]        the camera-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------

#pragma once

#include "ray.h"

namespace rt
{

class camera
    {
public:
    camera(rtvec lookfrom, rtvec lookat, rtvec vup, rtvar vfov, rtvar aspect, rtvar aperture, rtvar focus)
        :_eye(lookfrom)
        , _lens_radius(aperture / 2)
    {
        rtvar theta = vfov * π / 180;
        rtvar half_height = tan(theta / 2) * focus;        //tan(theta/2) = (height/2) / 焦距
        rtvar half_width = aspect * half_height;
        _w = (lookfrom - lookat).ret_unitization();
        _u = cross(vup, _w).ret_unitization();
        _v = cross(_w, _u);

        //向量运算
        _start = _eye - half_width * _u - half_height * _v - focus * _w;//高和宽都乘了焦距，w也要乘，不然公式是错的
        _horizontal = 2 * half_width * _u;
        _vertical = 2 * half_height * _v;
    }

    const ray get_ray(const rtvar u, const rtvar v)const
    {
        rtvec rd = rtvec(_lens_radius * lvgm::random_unit_plane());
        rtvec offset = _u * rd.x() + _v * rd.y();
        return ray{ _eye + offset, _start + u*_horizontal + v*_vertical - (_eye + offset) };
    }

    const ray get_ray(const lvgm::vec2<rtvar>& para)const    {    return get_ray(para.u(), para.v());    }

    inline const rtvec& eye()const { return _eye; }

    inline const rtvec& start()const { return _start; }

    inline const rtvec& horizontal()const { return _horizontal; }

    inline const rtvec& vertical()const { return _vertical; }

    inline const rtvec& u()const { return _u; }

    inline const rtvec& v()const { return _v; }

    inline const rtvec& w()const { return _w; }

    inline const rtvar lens_r()const { return _lens_radius; }

private:
    rtvec _u;

    rtvec _v;

    rtvec _w;

    rtvec _eye;

    rtvec _start;        //left-bottom

    rtvec _horizontal;

    rtvec _vertical;

    rtvar _lens_radius;  //the radius of lens

    };

}

4.碰撞相交部分

有一个碰撞相交基类

/// intersect.h
//https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10190092.html
// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        the intersect-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------
#pragma once

namespace rt
{
    class material;

struct hitInfo
    {
    lvgm::precision _t;        //ray 中的系数t
    rtvec _p;                //相交点、撞击点
    rtvec _n;                //_p点的表面法线
    material* materialp;    //材质
    };

class intersect
    {
public:
    intersect() {  }

    /*
    @brief: 撞击函数，求取撞击点相关记录信息
    @param: sight->视线
    系数t的上下界->筛选撞击点
    rec->返回撞击点信息
    @retur: 是否存在合法撞击点
    */
    virtual bool hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& rec)const = 0;

    virtual ~intersect() {  }
    };

}

后面有一个子类intersections是用于处理一组碰撞相交的类，类比于容器

/// intersections.h
//    https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10190092.html

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        the intersections-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------
#pragma once

namespace rt
{

class intersections :public intersect
    {
public:
    intersections() {  }

    intersections(intersect** list, size_t n) :_list(list), _size(n) {  }

    virtual bool hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& rec)const override;

private:
    intersect** _list;

    size_t _size;
    };

bool intersections::hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& rec)const
{
    hitInfo t_rec;
    bool hitSomething = false;
    rtvar far = t_max;            //刚开始可以看到无限远
    for (int i = 0; i < _size; ++i)
    {
        if (_list[i]->hit(sight, t_min, far, t_rec))
        {
            hitSomething = true;
            far = t_rec._t;            //将上一次的最近撞击点作为视线可达最远处
            rec = t_rec;
        }
    }
    return hitSomething;
}

}

还有一个子类sphere是一种几何体用来做自身的碰撞检测的，之后，我们可能还会加入心形几何体类

/// sphere.h
//  https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10190092.html
// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.1.1
// [brief ]        the sphere-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------
#pragma once

namespace rt
{

class sphere :public intersect
    {
public:
    sphere() {  }

        /*
        @para1: 球心坐标
        @para2: 球半径
        @para3: 材质
        */
    sphere(const rtvec& h, rtvar r, material* ma) :_heart(h), _radius(r), _materialp(ma) {  } 

    ~sphere() { if (_materialp)    delete _materialp; }

    virtual bool hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& rec)const override;

    inline const rtvar r()const            { return _radius;    }

    inline const rtvec& heart()const    { return _heart;    }

    inline rtvar& r()                    { return _radius;    }

    inline rtvec& heart()                { return _heart;    }

private:
    rtvec _heart;

    rtvar _radius;

    material* _materialp;
    };

bool sphere::hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& rec)const
{
    rtvec trace = sight.origin() - _heart;
    rtvar a = dot(sight.direction(), sight.direction());
    rtvar b = 2.0 * dot(trace, sight.direction());
    rtvar c = dot(trace, trace) - _radius * _radius;
    rtvar delt = b*b - 4.0*a*c;
    if (delt > 0)
    {
        rec.materialp = _materialp;
        rtvar x = (-b - sqrt(delt)) / (2.0*a);
        if (x < t_max && x > t_min)
        {
            rec._t = x;
            rec._p = sight.go(rec._t);
            rec._n = (rec._p - _heart) / _radius;
            return true;
        }
        x = (-b + sqrt(delt)) / (2.0*a);
        if (x < t_max && x > t_min)
        {
            rec._t = x;
            rec._p = sight.go(x);
            rec._n = (rec._p - _heart) / _radius;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

}

一个总文件

/// RThit.h
//    https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10190092.html

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2019.1
// [brief ]        some intersects
//                intersections
//                sphere
//                heart
// -----------------------------------------------------

#pragma once

#include "ray.h"
#include "intersect.h"

#include "sphere.hpp"
#include "intersections.hpp"

5.材质类

材质有一个基类和三个子类

/// material.h

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        the material-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------
#pragma once

namespace rt
{

//abstract basic class
class material
    {
public:

    /*
    @brief: produce a scattered ray
    @param: InRay -> Incident light
            info -> the information of intersect-point(hit-point)
            attenuation -> when scattered, how much the ray should be attenuated by tis reflectance R
            scattered -> as we talk, it is a new sight; or
                         it is the scattered ray with the intersect-point
    @retur: the function calculate a scattered ray or not
    */
    virtual bool scatter(const ray& InRay, const hitInfo& info, rtvec& attenuation, ray& scattered)const = 0;

    };

}
/// diffuse.hpp
// https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10198423.html

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        one of the materials
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{
//diffuse material
class lambertian : public material
    {
public:
    lambertian(const rtvec& a) :_albedo(a) {  }

    bool scatter(const ray& rIn, const hitInfo& info, rtvec& attenuation, ray& scattered)const override
    {
        rtvec target = info._p + info._n + lvgm::random_unit_sphere();
        scattered = ray{ info._p, target - info._p };
        attenuation = _albedo;
        return true;
    }
protected:

    rtvec _albedo;
    };

}
/// metal.hpp
// https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10206773.html

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [brief ]        one of the materials
// -----------------------------------------------------

#pragma once

namespace rt
{
//metal material
class metal :public material
    {
public:

    metal(const rtvec& a, const rtvar f = 0.) :_albedo(a)
        {
        if (f < 1 && f >= 0)_fuzz = f;
        else _fuzz = 1;
        }

    virtual bool scatter(const ray& rIn, const hitInfo& info, rtvec& attenuation, ray& scattered)const
    {
        rtvec target = reflect(rIn.direction().ret_unitization(), info._n);
        scattered = ray{ info._p, target + _fuzz * lvgm::random_unit_sphere() };
        attenuation = _albedo;
        return dot(scattered.direction(), info._n) != 0;
    }

    inline static rtvec reflect(const rtvec& in, const rtvec& n) { return in - 2 * dot(in, n)*n; }

protected:

    rtvec _albedo;

    rtvar _fuzz;
    };

}
/// dielectric.hpp
// https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10217719.html

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2019.1
// [brief ]        one of the materials
// -----------------------------------------------------
#pragma once

namespace rt
{
    class dielectric :public material
    {
    public:
        dielectric(const rtvar RI) :_RI(RI) {  }

        virtual bool scatter(const ray& InRay, const hitInfo& info, rtvec& attenuation, ray& scattered)const override;

    protected:
        rtvar _RI;

        inline rtvar schlick(const rtvar cosine)const;
    };

    bool dielectric::scatter(const ray& InRay, const hitInfo& info, rtvec& attenuation, ray& scattered)const
    {
        rtvec outward_normal;
        rtvec refracted;
        rtvec reflected = reflect(InRay.direction(), info._n);
        rtvar eta;
        rtvar reflect_prob;
        rtvar cos;
        attenuation = rtvec(1., 1., 1.);

        if (dot(InRay.direction(), info._n) > 0)
        {
            outward_normal = -info._n;
            eta = _RI;
            cos = _RI * dot(InRay.direction(), info._n) / InRay.direction().normal();
        }
        else
        {
            outward_normal = info._n;
            eta = 1.0 / _RI;
            cos = -dot(InRay.direction(), info._n) / InRay.direction().normal();
        }

        if (refract(InRay.direction(), outward_normal, eta, refracted))
            reflect_prob = schlick(cos);    //如果有折射，计算反射系数
        else
            reflect_prob = 1.0;        //如果没有折射，那么为全反射

        if (lvgm::rand01() < reflect_prob)
            scattered = ray(info._p, reflected);
        else
            scattered = ray(info._p, refracted);

        return true;
    }

    inline rtvar dielectric::schlick(const rtvar cosine)const
    {
        rtvar r0 = (1. - _RI) / (1. + _RI);
        r0 *= r0;
        return r0 + (1 - r0)*pow((1 - cosine), 5);
    }
}

总文件

/// RTmaterial.h

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2019.1
// [brief ]        some materials
//                diffuse
//                metal
//                dielectric
// -----------------------------------------------------
#pragma once

#include "ray.h"
#include "intersect.h"
#include "material.h"

#include "diffuse.hpp"
#include "metal.hpp"
#include "dielectric.hpp"

我们所有的文件就写完了

12.2封面完结

这个图让我学会了分段渲染。。。

这个图非常好看，于是乎，整了一个600*400的，整整渲染了两天（....），内心是崩溃的

我试过并发编程，结果效果不好（自己也不怎么会上锁。。。）

所以，就只能单线程处理，时间超过十个小时左右吧，VS那个时间过程诊断框就坏死了。。。

有时候，不能一直渲染，这个时候，被迫结束后，只需要读取已有文件的行数，然后计算出渲染了多少个点了，然后在渲染的双重for循环中从下一个点开始渲染写入文件即可，就可以随时随地想停就停，想渲染就渲染，因为图像本事就是一个一个像素点，我们只需要24w个点的文件数据即可，你也可以并发写入多个文件，最后拼在一起

我们采用的相机参数是这样的

据说是官方的，我也不清楚

还有一个文章写得非常好，是写相机的参数测试的，大家可以阅读一下，对相机的参数有一个更直观深入的了解

相机各个参数测试效果

因为这个图实在是渲染了好久，所以也没有出一些其他的效果图，可能之后会更，大家可以自己设置球体以及相机，欢迎在评论区发出你的渲染图~

下面是代码：

#define LOWPRECISION

#include <fstream>
#include "RTmaterial.h"
#include "RThit.h"
#include "camera.h"
#define stds std::
using namespace rt;

rtvec lerp(const ray& sight, intersect* world, int depth)
{
    hitInfo info;
    if (world->hit(sight, (rtvar)0.001, rtInf(), info))
    {
        ray scattered;
        rtvec attenuation;
        if (depth < 50 && info.materialp->scatter(sight, info, attenuation, scattered))
            return attenuation * lerp(scattered, world, depth + 1);
        else
            return rtvec(0, 0, 0);
    }
    else
    {
        rtvec unit_dir = sight.direction().ret_unitization();
        rtvar t = 0.5*(unit_dir.y() + 1.);
        return (1. - t)*rtvec(1., 1., 1.) + t*rtvec(0.5, 0.7, 1.0);
    }
}

intersect* random_sphere()
{
    int cnt = 500;
    intersect **list = new intersect*[cnt + 1];
    list[0] = new sphere(rtvec(0, -1000, 0), 1000, new lambertian(rtvec(0.5, 0.5, 0.5)));
    int size = 1;
    for (int a = -11; a < 11; ++a)
        for (int b = -11; b < 11; ++b)
        {
            rtvar choose_mat = lvgm::rand01();
            rtvec center(a + 0.9 * lvgm::rand01(), 0.2, b + 0.9*lvgm::rand01());
            if ((center - rtvec(4, 0.2, 0)).normal()>0.9)
            {
                if (choose_mat < 0.75)
                {
                    list[size++] = new sphere(center, 0.2, new lambertian(rtvec(lvgm::rand01()*lvgm::rand01(), lvgm::rand01()*lvgm::rand01(), lvgm::rand01()*lvgm::rand01())));
                }
                else if (choose_mat < 0.9)
                {
                    list[size++] = new sphere(center, 0.2, new metal(rtvec(0.5*(1 + lvgm::rand01()), 0.5*(1 + lvgm::rand01()), 0.5*(1 + lvgm::rand01())), 0.5*lvgm::rand01()));
                }
                else
                {
                    list[size++] = new sphere(center, 0.2, new dielectric(1.5));
                }
            }
        }

    list[size++] = new sphere(rtvec(0, 1, 0), 1.0, new dielectric(1.5));
    list[size++] = new sphere(rtvec(-4, 1, 0), 1.0, new lambertian(rtvec(0.4, 0.2, 0.1)));
    list[size++] = new sphere(rtvec(4, 1, 0), 1.0, new metal(rtvec(0.7, 0.6, 0.5), 0.));

    return new intersections(list, size);
}

void build_12_1()
{
    stds ofstream file("graph12-1.ppm");
    size_t W = 200, H = 120, sample = 100;

    if (file.is_open())
    {
        file << "P3\n" << W << " " << H << "\n255\n" << stds endl;

        intersect* world = random_sphere();

        rtvec lookfrom(13, 2, 3);
        rtvec lookat(0, 0, 0);
        float dist_to_focus = (lookfrom - lookat).normal();
        float aperture = 0.0;
        camera cma(lookfrom, lookat, rtvec(0, 1, 0), 20, rtvar(W) / rtvar(H), aperture, 0.7*dist_to_focus);

        for (int y = H - 1; y >= 0; --y)
            for (int x = 0; x < W; ++x)
            {
                rtvec color;
                for (int cnt = 0; cnt < sample; ++cnt)
                {
                    lvgm::vec2<rtvar> para{
                        (lvgm::rand01() + x) / W,
                        (lvgm::rand01() + y) / H };
                    color += lerp(cma.get_ray(para), world, 0);
                }
                color /= sample;
                color = rtvec(sqrt(color.r()), sqrt(color.g()), sqrt(color.b()));    //gamma 校正
                int r = int(255.99 * color.r());
                int g = int(255.99 * color.g());
                int b = int(255.99 * color.b());
                file << r << " " << g << " " << b << stds endl;
            }
        file.close();

        if (world)delete world;

        stds cout << "complished" << stds endl;
    }
    else
        stds cerr << "open file error" << stds endl;
}

int main()
{
    build_12_1();
}

感谢您的阅读，生活愉快~

原文地址：https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10243553.html

时间： 2024-10-09 16:36:51

【Ray Tracing in One Weekend 超详解】 光线追踪1-10的相关文章

【Ray Tracing The Next Week 超详解】 光线追踪2-6 Cornell box

Chapter 6:Rectangles and Lights 今天,我们来学习长方形区域光照  先看效果 light 首先我们需要设计一个发光的材质 /// light.hpp // ----------------------------------------------------- // [author] lv // [begin ] 2019.1 // [brief ] the areaLight-class for the ray-tracing project // from t

【Ray Tracing The Next Week 超详解】 光线追踪2-3

 Preface 终于到了激动人心的纹理章节了 然鹅,看了下,并不激动 因为我们之前就接触过 当初有一个 attenuation 吗? 对了,这就是我们的rgb分量过滤器,我们画出的红色.蓝色.绿色等等,都是通过它来控制的 专业点的词语叫做rgb衰减比例,比如rtvec(1.,0.,0.),最后呈现出来的是红色,因为r保留了100% 它是怎么控制的呢,我们来回顾一下这个过程 首先,我们创建一个材质球 后面那个rtvec(0.4,0.2,0.1)就是衰减比例(衰减到原来的百分之..) 之后 进入数

【Ray Tracing The Next Week 超详解】 光线追踪2-7 任意长方体 &amp;&amp; 场景案例

上一篇比较简单,很久才发是因为做了一些好玩的场景,后来发现这一章是专门写场景例子的,所以就安排到了这一篇 Preface 这一篇要介绍的内容有: 1. 自己做的光照例子 2. Cornell box画质问题及优化方案 3. 新的场景几何体——长方体 轴平行长方体 任意长方体 我们这一篇重实践轻理论阐述 ready 1. 需要上一章的知识 但是,上一章的Cornell box画质优化仅限于盒子本身,如果作为场景和其他物体放在一起就不能那么优化画质 即,Cornell box像素计算失败应该返回黑色

【Ray Tracing in One Weekend 超详解】 光线追踪1-7 Dielectric 半径为负，实心球体镂空技巧

今天讲这本书最后一种材质 Preface 水,玻璃和钻石等透明材料是电介质.当光线照射它们时,它会分裂成反射光线和折射(透射)光线. 处理方案:在反射或折射之间随机选择并且每次交互仅产生一条散射光线 (实施方法:随机取样,具体见后文) 调试最困难的部分是折射光线.如果有折射光线的话,我通常首先让所有的光折射.对于这个项目,我试图在我们的场景中放置两个玻璃球,我得到了这个:   上述图片是对的吗?显然,在实际生活中,那两个玻璃球看起来怪怪的,实际情况下,里面的内容应该将现在的进行上下颠倒,且没有黑

POJ 1659 Frogs&#39; Neighborhood(可图性判定—Havel-Hakimi定理)【超详解】

Frogs' Neighborhood Time Limit: 5000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 9897   Accepted: 4137   Special Judge Description 未名湖附近共有N个大小湖泊L1, L2, ..., Ln(其中包括未名湖),每个湖泊Li里住着一只青蛙Fi(1 ≤ i ≤ N).如果湖泊Li和Lj之间有水路相连,则青蛙Fi和Fj互称为邻居.现在已知每只青蛙的邻居数目x1, x2, ..

CentOS6启动过程超详解分析

CentOS 6 开机流程--linux由kernel和rootfs组成.kernel负责进程管理.内存管理.网络管理.驱动程序.文件系统.安全等;rootfs由程序和glibc组成,完善操作系统的功能.同时linux内核的特点是模块化,通过对模块装载卸载可以对内核功能自定义.linux内核文件:/boot/vmlinuz-2.6.32-696.el6.x86_64 整体的流程 BIOS/开机自检 MBR引导(Boot Loader) 启动内核 启动第一个进程init 一.BIOS/开机自检 1

【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超详解】 光线追踪 3-5 random direction &amp; ONB

 Preface 往后看了几章,对这本书有了新的理解 上一篇,我们第一次尝试把MC积分运用到了Lambertian材质中,当然,第一次尝试是失败的,作者发现它的渲染效果和现实有些出入,所以结尾处声明要通过实践,改进当前的效果 于是乎,就有了后面的章节,几乎整本书都在讲,如何一步一步地改进上一篇的画质,使其更加符合现实,上一篇其实是抛砖引玉 这本书的小标题名为the rest of your life 通过前面几章,我们可以更好地理解这句话:我们通过MC积分优化效果,采用的是pdf函数,之前说过,

高斯消元法(Gauss Elimination)【超详解&amp;模板】

高斯消元法,是线性代数中的一个算法,可用来求解线性方程组,并可以求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵.高斯消元法的原理是:若用初等行变换将增广矩阵 化为 ,则AX = B与CX = D是同解方程组. 所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵,然后回代求出方程的解. 1.线性方程组 1)构造增广矩阵,即系数矩阵A增加上常数向量b(A|b) 2)通过以交换行.某行乘以非负常数和两行相加这三种初等变化将原系统转化为更简单的三角形式(triangular form) 注:这里的初等变化可以通过

海量数据处理算法总结【超详解】

1. Bloom Filter [Bloom Filter]Bloom Filter(BF)是一种空间效率很高的随机数据结构,它利用位数组很简洁地表示一个集合,并能判断一个元素是否属于这个集合.它是一个判断元素是否存在集合的快速的概率算法.Bloom Filter有可能会出现错误判断,但不会漏掉判断.也就是Bloom Filter判断元素不再集合,那肯定不在.如果判断元素存在集合中,有一定的概率判断错误.因此,Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合. 而在能容忍低错误率的应用场合