POJ 1037 (计数 + DP) 一个美妙的栅栏

这道题总算勉勉强强看懂了，DP和计数都很不好想

DP部分：

称i根木棒的合法方案集合为S(i)，第二根木棒比第一根长的方案称作UP方案，反之叫做DOWN方案

C[i][k][DOWN] 是S(i)中以第k短(而不是长度为k)的木棒打头的DOWN方案数。

假设S(i)中第一根木棒长为x，那么构成合法的方案数有两类：

1. S(i - 1)中第一根木棒比x长的DOWN方案
2. S(i - 1)中第一根木棒比x短的UP方案

有如下递推关系：

C[i][k][UP] = ∑ C[i-1][M][DOWN]
M = k ... i -1
C[i][k][DOWN] = ∑ C[i-1][N][UP]
N = 1… k-1

举个例子：

比如四根木棒，假设第一根木棒长度为2，在剩下的1 3 4中，比2长的3和4分别是S(3)中第2和第3短的。(要和C所定义的状态相对应)

所以上式的M和N的范围就是这样的

总的方案数就是：Sum{ C[n][k][DOWN] + C[n][k][UP] } k = 1.. n

计数部分：

扔掉这个题，考虑一下这个问题：

1 2 3 4全排列，求字典序的第10个

首先假设第一个数是1，那么后面有3! = 6 < 10种排列情况，所以打头的不是1。  继续假设是2，后面三个数也有6种排列情况， 6 + 6 ≥ 10，所以第一个数确定是2，此时跳过了第一个数为1的6种情况。

继续假设第二个数是1，后面有2! = 2种情况， 2 + 6 ＜ 10，所以假设第二个数是3(注意2已经在第一个数中用过了)，依旧是有2种情况， 8 + 2 ≥ 10，第二个数确定是3，跳过了10种情况。

后面因为10 ≥ 10，所以第三第四个数分别是1 4

所求的排列就是2 3 1 4

回到这个题上来：

前面已经求得了i个数中第k小打头的方案数，所以我们也完全可以模拟上面的思维过程来求解。

微调：以第i短的木棒作第k根时，有UP和DOWN两类方案，先用DOWN的方案数和C比较

 1 //#define LOCAL
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6
 7 const int maxn = 25;
 8 const int UP = 0;
 9 const int DOWN = 1;
10 long long C[maxn][maxn][2];
11
12 void Init(int n)
13 {
14     memset(C, 0, sizeof(C));
15     C[1][1][UP] = C[1][1][DOWN] = 1;
16     for(int i = 2; i <= n; ++i)
17         for(int k = 1; k <= i; ++k)
18         {
19             for(int M = k; M < i; ++M)
20                 C[i][k][UP] += C[i - 1][M][DOWN];
21             for(int N = 1; N <= k - 1; ++N)
22                 C[i][k][DOWN] += C[i - 1][N][UP];
23         }
24 }
25
26 void Print(int n, long long c)
27 {
28     long long skipped = 0;
29     int seq[maxn], used[maxn];
30     memset(used, 0, sizeof(used));
31     for(int i = 1; i <= n; ++i)
32     {
33         long long oldVal = skipped;
34         int k, No = 0;
35         for(k = 1; k <= n; ++k)
36         {
37             oldVal = skipped;
38             if(!used[k])
39             {
40                 ++No;
41                 if(i == 1)
42                     skipped += C[n][No][UP] + C[n][No][DOWN];
43                 else
44                 {
45                     if(k > seq[i - 1] && (i == 2 || seq[i - 2] > seq[i - 1]))
46                         skipped += C[n - i + 1][No][DOWN];
47                     else if(k < seq[i - 1] && (i == 2 || seq[i - 2] < seq[i - 1]))
48                         skipped += C[n - i + 1][No][UP];
49                 }
50                 if(skipped >= c)
51                     break;
52             }
53         }
54         used[k] = 1;
55         seq[i] = k;
56         skipped = oldVal;
57     }
58
59     for(int i = 1; i < n; ++i)    printf("%d ", seq[i]);
60     printf("%d\n", seq[n]);
61 }
62
63 int main(void)
64 {
65     #ifdef LOCAL
66         freopen("1037in.txt", "r", stdin);
67     #endif
68
69     int T, n;
70     long long c;
71     Init(20);
72     scanf("%d", &T);
73     while(T--)
74     {
75         scanf("%d %lld", &n, &c);
76         Print(n, c);
77     }
78     return 0;
79 }

代码君