棋盘分割
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Problem Description
将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 
原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 均方差 
，其中平均值 
xi为第i块矩形棋盘的总分。 请编程对给出的棋盘及n，求出O‘的最小值。
Input
第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
Output
仅一个数，为O‘（四舍五入精确到小数点后三位）。
Sample Input
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
Sample Output
1.633
题解：
re了半天，知道真相的我眼泪流了下来，TMD，步数是15，我开的是10；
记忆化搜索，dp[x1][y1][x2][y2]代表到这个矩形状态的最小s[i]平方和；
下面是大神的详细解释：
n刀切割棋盘
下面是8*8的棋盘，每个数字代表棋盘对应点的权值，问切割n刀后，每一块的和 的均方差最小是多少
均方差的公式需要先化简：
由上式得，均方差最小 显然是要 Xi^2 最小
d[k][x1][y1][x2][y2]代表棋盘从(x1,y1)->(x2,y2)已经切了k刀 获得的最小的平方和
用sum[i][j] 代表 从(1,1)点 到 (i,j)点的权值和
这样答案就是 dp[n][1][1][8][8]/n -(sum[8][8]/n)^2
用S[ (x1,y1) ,( x2,y2) ] 代表 这两点间的权值和
这里用递归dp
状态转移方程：
d[k][x1][y1][x2][y2]=
Min{ 横向切： d[k-1] +剩下未切部分的平方和，纵向切：d[k-1]+剩下未切部分的平方和 }
横向切的最优解就是 Min{ d[ k-1,(x1,y1) , ( i ,y2) ] + S[ (i +1,y1) , ( x2 ,y2) ] , d[ k-1,(i+1,y1) , ( x2 ,y2) ] + S[ (x1,y1) , ( i ,y2) ] } ( x1<= i <x2)
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF=0x3fffffff;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SI(x) scanf("%d",&x)
#define PI(x) printf("%d",x)
#define SD(x) scanf("%lf",&x)
#define P_ printf(" ")
typedef long long LL;
const int MAXN=10;
double dp[20][MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];//卧槽
int s[MAXN][MAXN];
double ss[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
double SUM(int x1,int y1,int x2,int y2){
if(ss[x1][y1][x2][y2]>=0)return ss[x1][y1][x2][y2];
int temp=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
return ss[x1][y1][x2][y2]=temp*temp;
}
double dfs(int k,int x1,int y1,int x2,int y2){
if(k==1){
dp[k][x1][y1][x2][y2]=SUM(x1,y1,x2,y2);
return dp[k][x1][y1][x2][y2];
}
if(dp[k][x1][y1][x2][y2]>=0)return dp[k][x1][y1][x2][y2];
double temp = 99999999999;
for(int i=x1;i<x2;i++){
temp=min(temp,SUM(x1,y1,i,y2)+dfs(k-1,i+1,y1,x2,y2));
temp=min(temp,SUM(i+1,y1,x2,y2)+dfs(k-1,x1,y1,i,y2));
}
for(int i=y1;i<y2;i++){
temp=min(temp,SUM(x1,i+1,x2,y2)+dfs(k-1,x1,y1,x2,i));
temp=min(temp,SUM(x1,y1,x2,i)+dfs(k-1,x1,i+1,x2,y2));
}
return dp[k][x1][y1][x2][y2]=temp;
}
int main(){
int N;
while(~SI(N)){
int temp;
mem(ss,-1);mem(s,0);mem(dp,-1);
for(int i=1;i<=8;i++){
for(int j=1;j<=8;j++){
scanf("%d",&temp);
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+temp;
}
}
double ave=s[8][8]*1.0/N;
double ans=dfs(N,1,1,8,8);
//printf("%lf %d %lf\n",ans,s[8][8],ave);
printf("%.3lf\n",sqrt(ans*1.0/N-ave*ave));
}
return 0;
}