How the backpropagation algorithm works

反向传播的目标是计算代价函数C分别关于w和b的偏导数?C/?w和?C/?b。

反向传播的核心是一个对代价函数C关于任何权重w（或者偏置b）的偏导数?C/?w的表达式。这个表达式告诉我们在改变权重和偏置时，代价函数变化的快慢。

神经网络中使用矩阵快速计算输出

概念：每一层L的权重矩阵w^l,偏置向量b^l,激活向量a^l。那么L^th的激活向量和(L-1)^th的激活向量就能够通过方程关联起来：

在这个方程中有一个中间量z^l：

称z^l为L层神经元的带权输入。

关于代价函数的两个假设

1.代价函数可以被写成一个在每个训练样本x上的代价函数C_x的均值：

反向传播实际上是对一个独立的训练样本计算了?C_x/?w和?C_x/?b，然后再所有训练验本上进行平均化获得?C/?w和?C/?b。

有了这个假设就可以将代价函数C_x看作C。

2.代价可以写成神经网络输出的函数：

对一个单独的训练样本x其二次代价函数可以写作：

x,y都是固定的参数，不会因为权重和偏置的改变而改变，也就是说这不是神经网络学习的对象，所以将C看作仅有输出激活值a^l的函数是合理的。

反向传播的四个基本方程

概念：

δ_j^l:在l^th层第j^th个神经元上的误差。

1.输出误差方程：

σ’(z_j^l)需要一点额外的计算。?C/?a_j^l依赖于代价函数的形式，例如：如果使用二次函数，那么，所以。

2.使用下一层的误差δ^l+1来计算当前层的误差δ^l：

3.代价函数关于网络中任意偏置的改变率：

4.代价函数关于任何一个权重的改变率：

反向传播的四个方程式：

反向传播算法

在小批量数据（m）的基础上应用一部梯度下降学习算法