题目描述
有n个点、m条边、和k种商品。第$i$个点可以以$B_{ij}$的价格买入商品$j$，并以$S_{ij}$的价格卖出。任何时候只能持有一个商品。求一个环，使得初始不携带商品时以某种交易方式走过一圈所得的利润/路径长度（向下取整）最大。
输入
第一行包含3个正整数N,M和K,分别表示集市数量、道路数量和商品种类数量。
接下来的N行，第行中包含2K个整数描述一个集市Bi,1 Si,1 Bi,2 Si,2...Bik Si,k。
对于任意的1<=j<=k,整数和分别表示在编号为的集市上购买、卖出编号为的商品时的交易价格。
如果一个交易价格为-1，则表示这个商品在这个集市上不能进行这种交易。
接下来M行，第行包含3个整数Vp,Wp和Tp,表示存在一条从编号为Vp的市场出发前往编号为Wp的市场的路径花费Tp分钟。
1<=N<=100,1<=M<=9900
如果在编号为的集市i中，编号为j的商品既可以购买又可以卖出则0<Si,j<=Bi,j<=10^9
对于编号为P(1<=P<=M)的道路，保证Vp<>Wp且1<=Tp<=10^7
不存在满足1<=P<Q<=M的P,Q,使得(Vp,Wp)=(Vq,Wq) 。
输出
输出包含一个整数，表示盈利效率最高的环路盈利效率，答案向下取整保留到整数。如果没有任何一条环路可以盈利，则输出0。
样例输入
4 5 2
10 9 5 2
6 4 20 15
9 7 10 9
-1 -1 16 11
1 2 3
2 3 3
1 4 1
4 3 1
3 1 1
样例输出
2
题解
Floyd+分数规划+Spfa
题目显然是一个分数规划的模型，但是如果直接使用分层图模拟商品买卖的过程的话肯定会TLE。
我们不妨换个思路：考虑每件两点之间的连续交易。即在A地购买商品，并在B地卖出的这个过程。
那么这个过程走的一定是最短路，买卖的一定是盈利最大的商品（当无法盈利时显然不进行买卖，盈利为0）。
所以可以使用Floyd求出任意两点之间最短路，再处理出来任意两点之间的最大盈利。
然后就可以对这个图求最大比率环了。二分答案，把每条边的权值看作 最大盈利-最短路*mid ，如果有非负环则说明mid成立，否则mid不成立。
时间复杂度$O(n^2k+n^3\log v)$。
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 110
#define K 1010
using namespace std;
typedef long long ll;
queue<int> q;
int n , len[N][N] , val[N][N] , b[N][K] , s[N][K] , inq[N] , num[N];
ll dis[N];
inline bool judge(int mid)
{
int x , i;
while(!q.empty()) q.pop();
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) dis[i] = inq[i] = num[i] = 0 , q.push(i);
while(!q.empty())
{
x = q.front() , q.pop() , inq[x] = 0;;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
if(dis[i] <= dis[x] + val[x][i] - (ll)mid * len[x][i])
{
dis[i] = dis[x] + val[x][i] - (ll)mid * len[x][i];
if(!inq[i])
{
if(num[i] == n) return 1;
num[i] ++ , inq[i] = 1 , q.push(i);
}
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int m , p , i , j , k , x , y , z , l = 1 , r = 0 , mid , ans = 0;
scanf("%d%d%d" , &n , &m , &p);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= p ; j ++ )
scanf("%d%d" , &b[i][j] , &s[i][j]);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= p ; k ++ )
if(~b[i][k] && ~s[j][k])
val[i][j] = max(val[i][j] , s[j][k] - b[i][k]);
memset(len , 0x3f , sizeof(len));
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , len[x][y] = z , r = max(r , z);
for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
len[i][j] = min(len[i][j] , len[i][k] + len[k][j]);
while(l <= r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if(judge(mid)) ans = mid , l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
printf("%d\n" , ans);
return 0;
}