POJ 2728 最优比率生成树

思路：

转自魏神：

其实原题就是求 MIN（ ∑CiXi / ∑DiXi ） Xi∈{0，1} ，对每个生成树，设其比率r=∑CiXi / ∑DiXi ，可得∑CiXi - ∑DiXi * r=0（条件1）

那么对于所有的生成树，显然∑CiXi - ∑DiXi * min(r) >= 0，当 ∑CiXi / ∑DiXi = min(r)时，等号成立。 而我们现在不知道min(r)是多少，只好进行枚举，对每个枚举的r ,构建新的权值（Ci-Di*r），然后求最小生成树，  为什么求最小呢？ 我的理解就是这是为了寻找使得生成树的总权值为0的可能性，因为只有当其等于0
的时候，才满足了条件1 这个条件， 说明这个r是可行的，并且如果r枚举到值为min(r)时，其最小生成树的的总权值必然恰好等于0，但是如果不能等于0， 比如大于0， 显然是对该r值，所有的生成树上无论如何也满足不了条件1，说明r值就是偏小了。同理如果小于0，r值是偏大的,说明可能存在某些生成树使得满足条件1，而我们的目标是在满足条件1的情况下使得r最小。

根据这个我们可以发现，实际上r的值是可以进行二分查找的。 而也有人给出了更为高效的迭代方法。

求最小生成树的时候得用prim算法，因为是稠密图，而且需要的边树值才改变，所以时间较快。如果用kruscal来搞的话就直接T了，我已经写了一发kruscal的稳T，因为要每次都要变边然后排序边又加并查集，所以时间太多。

二分代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<cmath>
#include<bitset>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define llson j<<1,l,mid
#define rrson j<<1|1,mid+1,r
#define eps 1e-7
#define INF 0x7fffffff
#define maxn 1005
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
struct abc
{
    double x,y,z;
}e[maxn];
double calc(int i,int j)
{
    return sqrt((e[i].x-e[j].x)*(e[i].x-e[j].x)+(e[i].y-e[j].y)*(e[i].y-e[j].y));
}
int vis[maxn],n;
double dp[maxn],Map[maxn][maxn];
double prim(int st,double r)
{
    double sum=0;
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        vis[i]=0;
        dp[i]=fabs(e[st].z-e[i].z)-Map[st][i]*r;
    }
    vis[st]=1;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        double Min=INF;
        int now=-1;
        for(j=0;j<n;j++)
            if(!vis[j]&&dp[j]<Min)
                now=j,Min=dp[j];
        if(now!=-1)
        {
            vis[now]=1;
            sum+=dp[now];
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                double tmp=fabs(e[now].z-e[j].z)-Map[now][j]*r;
                if(!vis[j]&&tmp<dp[j])
                    dp[j]=tmp,vis[j]=0;
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int i,j;
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf%lf%lf",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<n;j++)
                Map[i][j]=calc(i,j);
        double l=0,r=100,mid;
        while(r-l>eps)
        {
            mid=(l+r)/2.0;
            if(prim(0,mid)>=0) l=mid;
            else r=mid;
        }
        printf("%.3f\n",r);
    }
    return 0;
}