参考
【1】：
longest consecutive subsequence of a random permutation
第一个帖子：
Theorem: The expected length of the longest increasing block in a random permutation of {1,2,…,n} is r0(n)+O(1) as n→∞, where r0(n) is the smallest positive integer such that r0(n)!>n. ("Block" means consecutive subsequence ai+1,ai+2,…,ai+r for some i and r, with no conditions on the relative sizes of the ai.)
证明反正也没看懂我也就不说啥了，结论是：r + C，其中 r是 r!>n的最小正整数，C是一个常数。（但是很奇怪程序运算起来和这个结论略有出入）
第二个帖子说：子串长度r大概是这个函数增长的，r=log(n)/W(log(n)/e)，因为W函数比Log增长略慢，所以r增长比logn/loglogn略快，并非如猜想的~logn。
【2】：
LISBOOK （如果是非连续的子串的话，长度趋近与2√n）
正文
偶然翻微博看到2013年问桑爷一个问题。如果一个随机的数数列，长度是是L，其元素是1-L不重复。问这个数列的连续递增子串的最长的长度的数学期望是多少？比如13254的最长连续递增子串是25，长度就是2。
当时我算了好久啊，没算出来……当然至今也没算出来，昨天写了个小程序算了一下。
打乱排序的函数用了库函数random_shuffle(...):
random_shuffle( int *A, int L);
求解的函数非常简单，扫一遍得到结果。
1 int calc(int *A,int L){
2 int max = 1;
3 int cur = 1;
4
5 if(!L) return 0;
6 For(i,L-1){
7 if(A[i+1] >= A[i] ){
8 cur++;
9 max = max>cur?max:cur;
10 }else{
11 cur = 1;
12 }
13 }
14 return max;
15 }
于是得到如下结果：
图一：横轴：数列长度n，纵轴平均长度E
其中0<=n<=350000
看上去增长貌似是lg级的啊，于是重新算一下，取对数看看。
图二：n=10,10^2,10^3...10^9.
图三：图二的散点图
猜想平均期望是 ~log(n)的了，不过正如文章开头所提，其实是～logn/loglogn。
学数学人的脑子真变态。。。