c语言-01背包问题

01背包问题

问题:有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

分析:

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物
品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化:

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组
f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1]
[v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1]
[v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态
f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:

for i=1..N
    for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

代码实现:


 1 /***************01背包问题******************/
2 #include <iostream>
3
4 using namespace std;
5 #define INF -65536
6 const int V=1000;//定义体积的最大值;
7 const int T=5;//定义商品的数目;
8 int f[V+1];
9 //#define EMPTY
10 int w[T]={6,8,3,9,2};//商品的价值;
11 int c[T]={400,600,500,600,900};//商品的体积;
12 int package()
13 {
14 #ifdef EMPTY//可以不装满
15 for(int i=0;i<=V;i++)//条件编译,表示可以不存储满
16 {
17 f[i]=0;
18 }
19 #else//必须装满
20 f[0]=0;
21 for(int i=1;i<=V;i++)//条件编译,表示必须存储满
22 {
23 f[i]=INF;
24 }
25 #endif // EMPTY
26 for(int i=0;i<T;i++)
27 {
28 for(int v=V;v>=c[i];v--)
29 {
30 f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);
31 }
32 }
33 return f[V];
34 }
35 int main()
36 {
37 int temp;
38 temp=package();
39 cout<<temp<<endl;
40 return 0;
41 }

我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么
任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。

明:

时间: 2024-10-18 17:55:16

c语言-01背包问题的相关文章

从01背包问题理解动态规划---初体验

01背包问题具体例子:假设现有容量10kg的背包,另外有3个物品,分别为a1,a2,a3.物品a1重量为3kg,价值为4:物品a2重量为4kg,价值为5:物品a3重量为5kg,价值为6.将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大? 这个问题有两种解法,动态规划和贪婪算法.本文仅涉及动态规划. 先不套用动态规划的具体定义,试着想,碰见这种题目,怎么解决? 首先想到的,一般是穷举法,一个一个地试,对于数目小的例子适用,如果容量增大,物品增多,这种方法就无用武之地了. 其次,可以先把价值最大的物体放入

《算法导论》读书笔记之第16章 0-1背包问题—动态规划求解

原文:http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/05/04/3059070.html 1.前言 前段时间忙着搞毕业论文,看书效率不高,导致博客一个多月没有更新了.前段时间真是有些堕落啊,混日子的感觉,很少不爽.今天开始继续看算法导论.今天继续学习动态规划和贪心算法.首先简单的介绍一下动态规划与贪心算法的各自特点及其区别.然后针对0-1背包问题进行讨论.最后给出一个简单的测试例子,联系动态规划实现0-1背包问题. 2.动态规划与贪心算法 关于动态规划的总结

动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)

01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻. 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] } f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值. Pi表示第i件物品的价值. 决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ? 题目描述: 有编号分别为a,b

01背包问题:POJ3624

背包问题是动态规划中的经典问题,而01背包问题是最基本的背包问题,也是最需要深刻理解的,否则何谈复杂的背包问题. POJ3624是一道纯粹的01背包问题,在此,加入新的要求:输出放入物品的方案. 我们的数组基于这样一种假设: totalN表示物品的种类,totalW表示背包的容量 w[i]表示第i件物品的重量,d[i]表示第i件物品的价值. F(i,j)表示前i件物品放入容量为j的背包中,背包内物品的最大价值. F(i,j) = max{ F(i-1,j) , F(i-1,j-w[i])+d[i

动态规划 - 0-1背包问题

0-1背包问题描述如下: 有一个容量为V的背包,和一些物品.这些物品分别有两个属性,体积w和价值v,每种物品只有一个.要求用这个背包装下价值尽可能多的物品,求该最大价值,背包可以不被装满.因为最优解中,每个物品都有两种可能的情况,即在背包中或者不存在(背 包中有0个该物品或者 1个),所以我们把这个问题称为0-1背包问题. 用dp[i][j]表示前i个物品在总体积不超过j的情况下,放到背包里的最大价值.由此可以推出状态转移方程: dp[0][j] = 0; dp[i][j] = max{dp[i

01背包问题的动态规划算法

01背包问题我最初学会的解法是回溯法,第一反应并不是用动态规划算法去解答.原因是学习动态规划算法的时候,矩阵连乘.最长公共子串等问题很容易将问题离散化成规模不同的子问题,比较好理解,而对于01背包问题则不容易想到将背包容量离散化抽象出子问题,从情感上先入为主也误以为动态规划算法不是解决01背包问题的好方法,实际上并不是这样的.另外,动态规划算法不对子问题进行重复计算,但是要自底向上将所有子问题都计算一遍,直到计算出最终问题的结果也就是我们要的答案,有点像爬山的感觉. 问题描述:给定n种物品和一背

ACM 01背包问题1

Description Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave … The bone collector had a big bag with a volume of V ,and

算法学习 - 01背包问题(动态规划C++)

动态规划 01背包 问题描述 求解思路 代码实现 放入哪些物品 代码 动态规划 我在上一篇博客里已经讲了一点动态规划了,传送门:算法学习 - 动态规划(DP问题)(C++) 这里说一下,遇到动态规划应该如何去想,才能找到解决办法. 最主要的其实是要找状态转移的方程,例如上一篇博客里面,找的就是当前两条生产线的第i个station的最短时间和上一时刻的时间关系. minTime(station[1][i]) = minTime(station[1][i-1] + time[i], station[

【算法导论】0-1背包问题

一.0-1背包问题描述: 已知:小偷在店里偷东西,小偷只带了一个最大承重为W的背包,商店里有N件商品,第i件商品的重量是weight[i],价钱是value[i]. 限制:每种商品只有一件,可以选择拿或者不拿,不能分割,不能只拿一件商品的一部分(所以叫做0-1,0即不拿,1则整个拿走,且一种商品有且只有一件可供拿走) 问题:在不超过背包最大承重的情况下,最多能拿走多少钱的商品. 算导上与0-1背包问题对应的是分数背包问题,分数背包问题中的物品是可以取一部分的,就是说可以拆分的,不像0-1背包中,