01背包问题
问题:有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
分析:
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物
品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化:
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组
f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1]
[v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1]
[v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态
f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
代码实现:
1 /***************01背包问题******************/
2 #include <iostream>
3
4 using namespace std;
5 #define INF -65536
6 const int V=1000;//定义体积的最大值;
7 const int T=5;//定义商品的数目;
8 int f[V+1];
9 //#define EMPTY
10 int w[T]={6,8,3,9,2};//商品的价值;
11 int c[T]={400,600,500,600,900};//商品的体积;
12 int package()
13 {
14 #ifdef EMPTY//可以不装满
15 for(int i=0;i<=V;i++)//条件编译,表示可以不存储满
16 {
17 f[i]=0;
18 }
19 #else//必须装满
20 f[0]=0;
21 for(int i=1;i<=V;i++)//条件编译,表示必须存储满
22 {
23 f[i]=INF;
24 }
25 #endif // EMPTY
26 for(int i=0;i<T;i++)
27 {
28 for(int v=V;v>=c[i];v--)
29 {
30 f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);
31 }
32 }
33 return f[V];
34 }
35 int main()
36 {
37 int temp;
38 temp=package();
39 cout<<temp<<endl;
40 return 0;
41 }
说
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么
任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
明: