1.滑动窗口最值问题
给定一个长度为n的序列a1,a2,…ai,…,an，将一个长为k的滑动窗口自序列最左端向右边滑动。例如：初始时，窗口内的子序列为a1,a2,…,ak；当窗口向右滑动一位，此时窗口内的子序列变为a2,a3,…,ak+1。
我们要解决的问题是，给定长度为n的序列以及滑动窗口的大小k，求每一个滑动窗口内的最小值和最大值。
以长度为5的序列1, 3, 4, 5, 7滑动窗口k=3为例说明：
第1个滑动窗口（1, 3, 4）的最小值、最大值分别为1和4；
第2个滑动窗口（3, 4, 5）的最小值、最大值分别为3和5；
第3个滑动窗口（4, 5, 7）的最小值、最大值分别为4和7。
2.一些可行的解决思路
最直接的思路，可以枚举所有窗口（一共n-k+1个），扫描窗口内的每一个元素求其最值。
整个算法的时间复杂度是O(n*k)，当数据规模较大的时候（如n=10^6，k=10^4），该算法耗时较长。
另一个容易想到的思路，将序列建线段树（或者树状数组等等），该过程的时间复杂度是O(n*logn)，再通过n-k+1次查询区间最值求每个窗口对应区间的最大（小）值。整体时间复杂度是O(n*logn)。
3.单调队列：更优美的思路
一种更加优美的解决方法是单调队列。那么，我们就来一起揭开「单调队列」的神秘面纱吧。
首先，第一个问题来了：单调队列是队列——吗？
字面上去理解的话，单调队列肯定是队列，没毛病。不然为啥不叫单调栈呢。
但是，初中地理老师有言在先：死海不是海，是湖泊，还是世界上最低的湖泊。为毛不起个「死湖」的名字？！这个……就自行google/baidu吧。
扯远了，扯回来。
单调队列，从严格意义上讲还真不是「队列」。
什么是队列呢？就是一中FIFO（First In First Out）的数据结构。所有要入队的元素，统一从队尾入队，再从队首出队。
但是，「单调队列」却不是一种FIFO的数据结构。在单调队列中，为了维护队列内元素的「单调」性，所有要入队的元素，统一从队尾入队，再从对首出队，也可以从对尾直接出队。
4.单调队列的基本操作
听起来有点玄乎，先来看看单调队列（以递增队列为例）有哪些基本的操作。
1.入队（push_back）：对于待入队的元素，为维护队列的递增性，如果队尾元素值大于待入队元素，则将对尾元素从队列中弹出，重复此操作，直到队列为空或者队尾元素小于待入队元素。然后，再把待入队元素添加到队列末尾。
2.出队（pop）：分被动的出队（为维护队列单调性，将元素从队尾弹出）和主动的出队（和传统的队列一样，从队首出；但是有讲究，正是这个讲究让滑动窗口最值问题得以解决）。
5.利用单调队列求解滑动窗口最值问题
下面，一起来看看如何利用单调（递增）队列来解决滑动窗口的最（小）值问题。
以长度为6的序列1, 3, 4, 5, 7, 2和滑动窗口k=3为例：
1）1入队，入队后队列变为[1]；
2）3入队，3大于队尾元素1，入队后队列变为[1, 3]；
3）4入队，4大于队尾元素3，入队后队列变为[1, 3, 4]；
从4开始，已经形成了第1个滑动窗口，窗口内最小值就是队首元素1。
4）5入队，5大于队尾元素4，入队后队列变为[1, 3, 4, 5]；
这时，队内有4个元素，求第2个滑动窗口内最小值的策略是：
取出队首元素，如果该元素不在滑动窗口内，则将其从队列中弹出，继续取新的对首元素，直到队首元素出现在窗口内；此时，队首元素即为窗口最小值。
这也就是出队操作的「讲究」之处。
在求得第2个滑动窗口的最小值后，1由于不在滑动窗口内被弹出，队列变为[3, 4, 5]；
5）7入队，7大于队尾元素5，入队后队列变为[3, 4, 5, 7]；
求得第3个滑动窗口的最小值，3由于不在窗口内出队，4在窗口内，所以4为第3个窗口的最小值。队列变为[4, 5, 7]。
6）2入队，为维护队列的单调性，依次弹出7, 5, 4，完成入队后，队列变为[2]。
求得第4个滑动窗口最小值为2，队列保持不变，依然为[2]。
6.时间复杂度
理解单调队列的核心之一在于，所有被动的出队（在队尾被弹出）的元素，都不可能是当前所求窗口的最值。
由于序列中的每个元素只可能入队1次，最多也可能出队1次，所以均摊下来，用单调队列求滑动窗口内最小值的算法时间复杂度是O(n)。
类似地，也可以利用单调递减队列来求得滑动窗口内的最大值问题。
单调队列的一个更加实用的用途，就是利用其滑动窗口最值优化动态规划问题的时间复杂度。
另外，关于这个问题，你可以在这里小试牛刀。
7.c++源码实现
1 #include <iostream>
2 #include <vector>
3 #include <deque>
4 #include <cstdio>
5
6 #define MAXN 10010
7
8 class Data {
9 public:
10 int val;
11 int idx;
12 Data() { val = idx = 0; }
13 Data(int x, int y):val(x), idx(y){}
14 };
15
16 class OrderedQueue {
17 private:
18 Data que[MAXN]; //在部分机器上（如POJ的环境上，MAXN为10^6时，会出现Runtime Error，一种可行的方法是将其设置为全局变量（由于封装差，因此不提供这个版本的代码）.
19 int front;
20 int back;
21 int window_size;
22 // true -> increasing(not strictly)
23 // false -> decreasing(not strictly)
24 bool order;
25 public:
26 OrderedQueue();
27 OrderedQueue(int window_size, bool order);
28 void push_back(Data d);
29 Data get_window_front(int pos);
30 void clear();
31 bool empty();
32 };
33
34 OrderedQueue::OrderedQueue() {
35 window_size = 3;
36 order = true;
37 clear();
38 }
39
40 OrderedQueue::OrderedQueue(int window_size, bool order) {
41 this->window_size = window_size;
42 this->order = order;
43 clear();
44 }
45
46 void OrderedQueue::clear() {
47 front = back = 0;
48 }
49
50 bool OrderedQueue::empty() {
51 return front == back;
52 }
53
54 void OrderedQueue::push_back(Data d) {
55 while (front < back) {
56 Data tail = que[back - 1];
57 bool tag = order ? d.val > tail.val : d.val < tail.val;
58 if (tag) {
59 break;
60 } else {
61 back--;
62 }
63 }
64 que[back++] = d;
65 }
66
67 Data OrderedQueue::get_window_front(int pos) {
68 while (front < back && que[front].idx < pos - window_size + 1) {
69 front++;
70 }
71 return que[front];
72 }
73
74
75 int main() {
76 int a[8] = {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7};
77 int wsize = 3;
78 OrderedQueue oq1 = OrderedQueue(wsize, true);
79 OrderedQueue oq2 = OrderedQueue(wsize, false);
80 for (int i = 0; i < 8; i++) {
81 oq1.push_back(Data(a[i], i));
82 oq2.push_back(Data(a[i], i));
83 if (i + 1 >= wsize) {
84 std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最小值为" << oq1.get_window_front(i).val << std::endl;
85 std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最大值为" << oq2.get_window_front(i).val << std::endl;
86 }
87 }
88 return 0;
89 }
8.如果可以……
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每一篇博文分享，我都倾尽满心诚意，如有任何问题，请在评论区留言沟通。
最后，如果可以……微信扫一扫下面二维码打赏点咖啡钱（当然，前提是博文对你受用）鼓励一下，我将打起精神努力码字。
「本文 完」