9.1 正睿提高2

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  • 2018.9.1 Test

    • A(凸壳 单调栈)
    • B(思路 独立)
    • C
    • 考试代码
      • A
      • B
      • C

2018.9.1 Test

时间：3.5h
实际得分：40+50+20

比赛链接

T1直接忽略了，刚了3小时T2(暴力写法不好，直接乘逆元就行→_→)，算是有点成果吧。。
然后20分钟写完T1、T3。感觉T3也算可做的。

A(凸壳 单调栈)

题目链接

注意到\(c_i=0\)，即二次函数对称轴都为y轴，但是好像还是很难做。。
但是这样我们可以把一个x提出来，变成\(x(ax+b)\)。
所以\(x>0\)时，我们要求\(\max{a_i*x+b_i}\)，即维护一个上凸壳；\(x<0\)时，维护一个下凸壳。
求法都一样，还是对斜率排序，用单调栈维护。更新时看i,sk[top],sk[top-1]间的关系。
求出凸壳后，可以在这些直线中二分出最大最小值是哪条直线。可以将求min时的直线乘-1，询问时再取反，就可以只写一个Find_Max的二分了(随意)。

还是用上/下凸壳指直线斜率递增/递减吧（凸函数）。。和图形反着。

只求了个上凸壳，在上面二分最小值直线竟然是对的。。嗯 好像是对的。。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define k first
#define b second
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n;
pr l[N],lu[N],ld[N];
LL ans[32330*2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
    int now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now*f;
}
inline bool Check(pr a,pr b,pr c){//p(a&b) is on the left of p(b&c)
    return 1ll*(b.b-a.b)*(c.k-b.k)<=1ll*(b.b-c.b)*(a.k-b.k);
}
void Convex(pr *sk,int &top)
{
    sk[top=1]=l[1];
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(l[i].k==l[i-1].k) continue;
        while(top>1 && Check(l[i],sk[top],sk[top-1])) --top;
        sk[++top]=l[i];
    }
}
#define F(i,x) (1ll*line[i].k*x+line[i].b)
inline LL Find_Min(pr *line,int r,int x)
{
    int l=1,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(F(mid,x)<F(mid+1,x)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return 1ll*x*F(l,x);
}
inline LL Find_Max(pr *line,int r,int x)
{
    int l=1,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(F(mid,x)>F(mid+1,x)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return 1ll*x*F(l,x);
}

int main()
{
    n=read(); int Q=read();
    for(int i=1,t; i<=n; ++i) t=read(),l[i]=mp(t,read());
    std::sort(l+1,l+1+n);
    int cntu=0;
    Convex(lu,cntu);//, Convex(ld,cntd);
    ans[32323]=0;//x=0
    for(int x; Q--; )
    {
        x=read();
        if(ans[x+32323]) printf("%lld\n",ans[x+32323]);
        else if(x<0) printf("%lld\n",ans[x+32323]=Find_Min(lu,cntu,x));
        else printf("%lld\n",ans[x+32323]=Find_Max(lu,cntu,x));
    }
    return 0;
}

B(思路 独立)

题目链接

答案就是所有元素期望被减的次数。（当然\(a_1\)是一定会被减掉的）
考虑某一局面，\(i(i\neq1)\)被减的期望次数是多少。所有元素被减的概率都是相同的。因为次数只与当前的\(a_1,a_i\)有关，且无论其它元素怎么变，1和i被减的概率都相同。
即其它元素对考虑它们没有影响，这个问题就等价于只有两个元素的原问题。（等价很厉害啊，与其它无关且概率相同概率就都是\(\frac{1}{2}\)了）
因此元素之间是独立的。对每个\(a_i\)计算答案求和就可以了。
对于只有两个元素的问题，相当于从点\((a_1,a_2)\)出发，每次等概率向左或向下走一步，直至走到坐标轴。若走到\((0,x)\)，则对答案贡献\(a_2-x\)；若走到\((x,0)\)，则对答案贡献\(a_2\)。
或者考虑枚举\(a_2\)在\(a_1\)被减到0前减了多少次。
\[\sum_{i=0}^{a_2-1}i*\frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}}+a_2(1-\sum_{i=0}^{a_2-1}\frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}})\]
前面是\(a_2\)未被减至0的期望次数，后面是被减至0的期望次数（概率用\(1-\sum_{i=0}^{a_2-1}\frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}}\)就可以啊）。
\(a_2\)每次增加1，前后都只会增加1项。算的时候直接用到\(a_2\)的前缀和也对，因为前后正好消掉。
复杂度\(O(a+n)\)。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 323232323
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

int n,A[N>>1],fac[N],inv[N],inv2[N],f[N],p[N];

#define C(n,m) (1ll*fac[(n)]*inv[(m)]%mod*inv[(n)-(m)]%mod)
inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
    int t=1;
    for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
    return t;
}

int main()
{
    n=read(); int mx=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) mx=std::max(mx,A[i]=read());
    int a1=A[1], lim=a1+mx; fac[0]=1;
    for(int i=1; i<=lim; ++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[lim]=FP(fac[lim],mod-2);
    for(int i=lim-1; ~i; --i) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    int i2=FP(2,mod-2); inv2[0]=1;
    for(int i=1; i<=lim; ++i) inv2[i]=1ll*inv2[i-1]*i2%mod;//2^{-i}

    p[0]=inv2[a1];
    for(int i=1; i<=mx; ++i)
    {
        p[i]=1ll*C(a1+i-1,i)*inv2[a1+i]%mod, f[i]=1ll*i*p[i]%mod;
        p[i]+=p[i-1], p[i]>=mod&&(p[i]-=mod);
        f[i]+=f[i-1], f[i]>=mod&&(f[i]-=mod);
    }
    LL ans=a1;
    for(int i=2; i<=n; ++i) ans+=f[A[i]/*-1*/]+1ll*A[i]*(mod+1-p[A[i]/*-1*/])%mod;
    printf("%d\n",(int)(ans%mod));

    return 0;
}

C

题目链接

考试代码

A

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n,Q,A[N],B[N];
LL ans[32323*4];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
    int now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now*f;
}
inline LL F(int x)
{
    int xx=x*x;
    LL res=1ll*A[1]*xx+(LL)B[1]*x;
    for(int i=2; i<=n; ++i) res=std::max(res,1ll*A[i]*xx+(LL)B[i]*x);
    return res;
}

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);

    n=read(), Q=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read(),B[i]=read();
    for(int i=1,x; i<=Q; ++i)
    {
        x=read();
        if(ans[x+32323]) printf("%lld\n",ans[x+32323]);
        else printf("%lld\n",ans[x+32323]=F(x));
    }
    return 0;
}

B

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 323232323
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n,A[N],fac[N<<1],inv[N<<1],i2[N<<1];
struct Fraction
{
    LL x,y;
    Fraction() {x=0, y=1;}
    Fraction(LL x,LL y):x(x),y(y) {}
    LL Gcd(LL x,LL y){
        return y?Gcd(y,x%y):x;
    }
    void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
    {
        if(!b) x=1, y=0;
        else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    }
    void Fix() {LL g=Gcd(x,y); x/=g, y/=g;}
    Fraction operator +(const Fraction &f)
    {
        LL a=x*f.y+y*f.x,b=y*f.y,g=Gcd(a,b);
//      printf("%I64d/%I64d + %I64d/%I64d = %I64d/%I64d\n",x,y,f.x,f.y,a/g,b/g);
        return Fraction(a/g,b/g);
    }
    Fraction operator +(LL f)
    {
        LL a=f*y+x,g=Gcd(a,y);
        return Fraction(a/g,y/g);
    }
    Fraction operator *(LL f)
    {
        LL a=x*f,g=Gcd(a,y);
        return Fraction(a/g,y/g);
    }
//  Fraction operator *(const Fraction &f)
//  {
//      LL a=x*f.x,b=y*f.y,g=Gcd(a,b);
//      return Fraction(a/g,b/g);
//  }
    void Print()
    {
        LL a,b; Exgcd(y,mod,a,b);
        a=(a%mod+mod)%mod;//!
//      printf("\n%I64d/%I64d=",x,y);
        printf("%d\n",(int)(a*x%mod));
    }
}Ans;

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
    int t=1;
    for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
    return t;
}
void DFS(int x,int t,LL p)
{
    if(!A[1])
    {
//      printf("%d %d*1/%I64d\n",x,t,p);
        Ans=Ans+Fraction(1,p)*t;
        return;
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        if(A[i]) --A[i], DFS(x+!A[i],t+1,p*(n-x)%mod), ++A[i];
}
bool Check2()
{
    for(int i=1; i<=n; ++i) if(A[i]>1) return 0;
    return 1;
}
#define C(n,m) (1ll*fac[(n)]*inv[(m)]%mod*inv[(n)-(m)]%mod)
//int c[1005][1005];
//int C(int n,int m) {return c[n][m];}
void Solve3()
{
//  c[0][0]=1;
//  for(int i=1; i<1000; ++i)
//  {
//      c[i][0]=c[i][i]=1;
//      for(int j=1; j<i; ++j)
//          c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
//  }
    int a1=A[1], a2=A[2], lim=a1+a2; fac[0]=1;
    for(int i=1; i<=lim; ++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[lim]=FP(fac[lim],mod-2), inv[0]=1;
    for(int i=lim-1; i; --i) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    int inv2=FP(2,mod-2); i2[0]=1;
    for(int i=1; i<=lim; ++i) i2[i]=1ll*i2[i-1]*inv2%mod;//2^{-i-1}
    LL ans=0;
    for(int i=0; i<a2; ++i)
        ans+=1ll*C(a1+i-1,i)*(a1+i)%mod*i2[a1+i]%mod;
    for(int i=a2; i<lim; ++i)
        ans+=1ll*C(i-1,a2-1)*lim%mod*i2[i]%mod;
    printf("%d\n",(int)(ans%mod));
}

int main()
{
//  freopen("B.in","r",stdin);

    n=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
    if(n==1) return printf("%d\n",A[1]),0;
//  DFS(0,0,1); Ans.Print();
    if(n<=5&&A[1]<=5&&A[2]<=5) {DFS(0,0,1); Ans.Print(); return 0;}
    if(Check2()) {Fraction(n+1,2).Print(); return 0;}
    if(n==2) {Solve3(); return 0;}
    printf("%d\n",202020207);

    return 0;
}

C

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=3e5+5;

int n,Q,A[N],dis[N],Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],top[N],dep[N],fa[N],sz[N],son[N],dgr[N];
LL Ans[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
inline void AddEdge(int u,int v)
{
    ++dgr[v], to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
    ++dgr[u], to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
inline int LCA(int u,int v)
{
    while(top[u]!=top[v]) dep[top[u]]>dep[top[v]]?u=fa[top[u]]:v=fa[top[v]];
    return dep[u]>dep[v]?v:u;
}
void DFS1(int x)
{
    int mx=0; sz[x]=1;
    for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
        if((v=to[i])!=fa[x])
        {
            dis[v]=dis[x]+1, fa[v]=x, dep[v]=dep[x]+1, DFS1(v), sz[x]+=sz[v];
            if(mx<sz[v]) mx=sz[v], son[x]=v;
        }
}
void DFS2(int x,int tp)
{
    top[x]=tp;
    if(son[x])
    {
        DFS2(son[x],tp);
        for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
            if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) DFS2(to[i],to[i]);
    }
}
void DFS(int x,int f,int d)
{
    Ans[x]=Ans[f]+(A[x]|d);
    for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
        if(to[i]!=f) DFS(to[i],x,d+1);
}
void Spec()
{
    DFS(1,1,0);
    for(int u,v; Q--; )
    {
        u=read(), v=read();
        if(u==1) std::swap(u,v);
        printf("%lld\n",Ans[u]);
    }
}

int main()
{
//  freopen("C.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);

    n=read(), Q=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
    for(int i=1; i<n; ++i) AddEdge(read(),read());
    if(n>5000) {Spec(); return 0;}
    DFS1(1), DFS2(1,1);
    for(int u,v,w; Q--; )
    {
        u=read(), v=read(), w=LCA(u,v);
        LL ans=A[w]|(dis[u]-dis[w]);
        for(int x=u,d=0; x!=w; x=fa[x],++d) ans+=A[x]|d;
        for(int x=v,d=dis[u]+dis[v]-(dis[w]<<1); x!=w; x=fa[x],--d) ans+=A[x]|d;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9574547.html

时间： 2024-08-30 11:46:23

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正睿多校联盟训练Week6

并没有参加 Problem A.阿瓦分蛋糕输入文件: cake.in输出文件: cake.out时间限制: 1 second空间限制: 512 megabytes阿瓦为了庆祝自己自己成长为了一只可爱的小猫,决定提前过生日!她觉得,在这一年当中帮助过他最多的就是阿卡和烤乐滋了,于是决定这次只请阿卡和烤乐滋两个人吃蛋糕.阿瓦买了一个 n × m 的蛋糕,她打算分给三个人吃,同时她切蛋糕的时候为了美观,只会在整块的蛋糕上一划到底.也就是说,她如果在蛋糕上切了一刀,那么这一刀的起点和终点一定在蛋糕的边界