[GXOI/GZOI2019]旧词 (树链剖分)
题面
给定一棵 \(n\)个点的有根树，节点标号 \([1,n]\),1号节点为根。
给定常数\(k\)
给定\(Q\)个询问，每次询问给定\(x,y\),求：\(\sum_{i=1}^x \mathrm{deep}(\mathrm{lca}(i,y)) \mod 998244353\)
分析
此题为[BZOJ3626] [LNOI2014]LCA(树链剖分)的加强版。
考虑原来的做法(k=1):我们把i到根的路径上所有点+1,y到根路径上的权值和就是lca深度。如果有多个点i,那么权值和就是深度之和。离线再线段树维护即可。
如果把1改成k,类比原来把\(deep[i]\)拆成\(deep[i]\)个1,我们可以把\(deep[i]^k\)拆成\(deep[i]^{k}-(deep[i]-1)^k,(deep[i]-1)^k-(deep[i]-2)^k \dots\)等.这样问题就变成了用线段树维护一个序列\(s\)支持:
- 对\(i \in [l,r]\),\(s_i\)加上定值\(val[i]=deep[i]^k-(deep[i]-1)^k\)
- 求\([l,r]\)的区间和
每个线段树区间维护一个变量delta记录区间内val之和,可以在建树的时候求出。
然后用一个懒标记addm记录每个区间被整体增加的次数,下推的时候加上addm*对应的val之和
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 200000
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void qread(int &x) {
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
inline void qprint(ll x) {
if(x<0) {
putchar('-');
qprint(-x);
} else if(x==0) {
putchar('0');
return;
} else {
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
}
inline ll fast_pow(ll x,ll k) {
ll ans=1;
while(k) {
if(k&1) ans=ans*x%mod;
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return ans;
}
int n,m,k;
struct edge {
int from;
int to;
int next;
} E[maxn*2+5];
int esz=1;
int head[maxn+5];
void add_edge(int u,int v) {
esz++;
E[esz].from=u;
E[esz].to=v;
E[esz].next=head[u];
head[u]=esz;
}
int deep[maxn+5],sz[maxn+5],fa[maxn+5],son[maxn+5],top[maxn+5],dfn[maxn+5],hash_dfn[maxn+5];
void dfs1(int x,int f) {
fa[x]=f;
sz[x]=1;
deep[x]=deep[f]+1;
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=f) {
dfs1(y,x);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[son[x]]<sz[y]) son[x]=y;
}
}
}
int tim;
void dfs2(int x,int t) {
dfn[x]=++tim;
hash_dfn[dfn[x]]=x;
top[x]=t;
if(son[x]) dfs2(son[x],t);
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) {
dfs2(y,y);
}
}
}
int lca(int x,int y) {
while(top[x]!=top[y]) {
if(deep[top[x]]>deep[top[y]]) x=fa[top[x]];
else y=fa[top[y]];
}
if(deep[x]<deep[y]) return x;
else return y;
}
struct query {
int x;
int y;
ll ans;
friend bool operator < (query p,query q) {
return p.x<q.x;
}
} q[maxn+5];
vector<int>id[maxn+5];
ll val[maxn+5];//预处理每个点的贡献
struct segment_tree {
struct node {
int l;
int r;
ll sum;
ll delta;//每次计算要加上的贡献,等于sum(val[i]) (l<=i<=r)
ll addm;//记录每个区间的贡献被计算的次数
int len() {
return r-l+1;
}
} tree[maxn*4+5];
void push_up(int pos) {
tree[pos].sum=(tree[pos<<1].sum+tree[pos<<1|1].sum)%mod;
tree[pos].delta=(tree[pos<<1].delta+tree[pos<<1|1].delta)%mod;
}
void build(int l,int r,ll *a,int pos) {
tree[pos].l=l;
tree[pos].r=r;
if(l==r){
tree[pos].delta=a[hash_dfn[l]];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,a,pos<<1);
build(mid+1,r,a,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
void add_tag(int x,int mark) {
tree[x].sum+=mark*tree[x].delta%mod;
tree[x].sum%=mod;
tree[x].addm+=mark;
tree[x].addm%=mod;
}
void push_down(int x) {
if(tree[x].addm) {
add_tag(x<<1,tree[x].addm);
add_tag(x<<1|1,tree[x].addm);
tree[x].addm=0;
}
}
void update(int L,int R,int val,int pos) {
if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r) {
add_tag(pos,val);
return;
}
push_down(pos);
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
if(L<=mid) update(L,R,val,pos<<1);
if(R>mid) update(L,R,val,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
ll query(int L,int R,int pos) {
if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r) {
return tree[pos].sum;
}
push_down(pos);
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
ll ans=0;
if(L<=mid) ans+=query(L,R,pos<<1);
if(R>mid) ans+=query(L,R,pos<<1|1);
return ans;
}
} T;
void update(int x,int y) {
int tx=top[x],ty=top[y];
while(tx!=ty) {
if(deep[tx]<deep[ty]) {
swap(x,y);
swap(tx,ty);
}
T.update(dfn[tx],dfn[x],1,1);
x=fa[tx];
tx=top[x];
}
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
T.update(dfn[x],dfn[y],1,1);
}
ll query(int x,int y) {
ll ans=0;
int tx=top[x],ty=top[y];
while(tx!=ty) {
if(deep[tx]<deep[ty]) {
swap(x,y);
swap(tx,ty);
}
ans+=T.query(dfn[tx],dfn[x],1);
x=fa[tx];
tx=top[x];
}
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
ans+=T.query(dfn[x],dfn[y],1);
return ans;
}
int main() {
int f;
qread(n);
qread(m);
qread(k);
for(int i=2; i<=n; i++) {
qread(f);
add_edge(i,f);
add_edge(f,i);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
for(int i=1; i<=m; i++) {
qread(q[i].x);
qread(q[i].y);
id[q[i].x].push_back(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
val[i]=(fast_pow(deep[i],k)-fast_pow(deep[i]-1,k)+mod)%mod;
}
T.build(1,n,val,1);
for(int i=1; i<=n; i++) {
update(1,i);
for(int j=0; j<(int)id[i].size(); j++) {
int num=id[i][j];
q[num].ans=query(1,q[num].y)%mod;
}
}
for(int i=1; i<=m; i++) {
qprint(q[i].ans);
putchar('\n');
}
}
/*
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1
4
1
2
4 3
5 4
2 5
1 2
3 2
*/原文地址：https://www.cnblogs.com/birchtree/p/12104131.html
时间： 2024-10-07 20:49:21