题解 SP1716 【GSS3 - Can you answer these queries III】

\[
Preface
\]

没有 Preface。
\[
Description
\]
维护一个长度为 \(n\) 的数列 \(A\) ,需要支持以下操作:

  • 0 x y 将 \(A_x\) 改为 \(y\) 。
  • 1 x y 求 \(\max\limits_{x \leq l \leq r \leq y}{\sum_{i=l}^rA[i]}\) 。

\[
Solution
\]

区间最大子段和 是一个非常经典的问题。

对于 整体最大子段和 来说,一般有 \(O(n)\) 的 贪心分治 做法,我们讨论的重点是 分治 做法。

\(~\)

假设当前需求解最大子段和的区间是 \([l,r]\) ,令 \(mid=\left\lfloor\dfrac{l+r}{2}\right\rfloor\)

我们套路地把 \([l,r]\) 分成 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) ,来进行分治求解:

\(~\)

首先对于形如 \([l,l]\) 的区间,就十分好处理了,这里不多说。

\(~\)

接下来,考虑下最大子段和满不满足 区间可加性 ?(\([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 的最大子段和能否推至 \([l,r]\))

显然,只维护一个最大子段和,对 左子区间右子区间 的最大子段和取个 \(\max\) 是不能维护最大子段和的,因为其漏掉了 最大子段和同时包含左子区间和右子区间 的情况。

那么对于剩下的这一种情况,它是必定经过中点 \(mid\) 的,那这种情况的最大段就是 左子区间从右端点向左走的最大段右子区间从左端点向右走的最大段 的并集,其值为 左子区间的后缀最大子段和 \(+\) 右子区间的前缀最大字段和

那我们再维护 前 \(/\) 后 缀最大子段和 ,对其三者取 \(\max\) ,最大子段和就满足区间可加性了。

维护 前 \(/\) 后 缀最大子段和 依旧可以分成 经过 \(mid\) \(/\) 不经过 \(mid\) 来讨论。

以前缀最大子段和为例,若经过 \(mid\) ,则最大段为 左子区间右子区间从左端点向右走的最大段 的并集,其值为 左子区间和 \(+\) 右子区间的前缀最大子段和 ;若不经过 \(mid\) ,则最大段为 左子区间从左端点向右走的最大段 。二者取个 \(\max\) 即可。后缀最大子段和同理。

那我们再维护个 区间和 ,那 最大子段和前 \(/\) 后 缀最大子段和 就都满足区间可加性了。

至于 区间和 \(......\) ,这玩意直接加就行了。

(上述内容大家可以自己画图感性理解一下

\(~\)

求解过程

约定变量:

\(sum\) : 区间和

\(lmax\) : 区间前缀最大子段和

\(rmax\) : 区间后缀最大子段和

\(wmax\) : 区间最大子段和

设函数 \(ask(l,r)\) 求的是关于区间 \([l,r]\) 的一个四元组\((\) \(sum\), \(lmax\), \(rmax\), \(wmax\) \()\)

首先有一个递归边界 \(l=r\) ,此时这四个元素均为 \(A_l\) 。

那对于一般情况,令 \(lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r)\) ,则有:
\[
self.sum=lc.sum+rc.sum
\]

\[
self.lmax=\max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax)
\]

\[
self.rmax=\max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax)
\]

\[
self.wmax=\max(lc.wmax,rc.wmax,lc.rmax+rc.lmax)
\]

此时 \(self\) 即为 \(ask(l,r)\) 。

struct data{
    int sum;
    int lmax;
    int rmax;
    int wmax;
};

data ask(int l,int r)
{
    data self;
    if(l==r)
    {
        self.sum=self.lmax=self.rmax=self.wmax=A[l];
        return self;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    data lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r);
    self.sum=lc.sum+rc.sum;
    self.lmax=max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax);
    self.rmax=max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax);
    self.wmax=max(max(lc.wmax,rc.wmax),lc.rmax+rc.lmax);
    return self;
}

\(~\)

然后你会发现,若对于每个询问都调用一次 ask(l,r) 会稳稳 T 掉

那我 bb 这么多有什么用呢

大家仔细想想,这个分治的过程像不像某个数据结构呢?

线段树?

线段树!

是的,用线段树维护,每个节点保存的是该节点所代表的区间 \([l,r]\) 的 \((\) \(sum\), \(lmax\), \(rmax\), \(wmax\) \()\) 。

剩下的都是一些线段树基本操作了。
\[
Code
\]

#include<cstdio>
#include<algorithm> 

#define RI register int

using namespace std;

const int SIZE=500100;

int n,m;
int a[SIZE];

struct SegmentTree{
    int l,r;
    int sum;
    int lmax;
    int rmax;
    int dat;
}t[SIZE*4];

void build(int p,int l,int r)
{
    t[p].l=l;t[p].r=r;
    if(l==r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=a[l];return;}
    int mid=(l+r)/2;
    build(p*2,l,mid);
    build(p*2+1,mid+1,r);
    t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
    t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
    t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
    t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}

void change(int p,int x,int val)
{
    if(t[p].l==t[p].r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=val;return;}
    int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
    if(x<=mid)change(p*2,x,val);
    else change(p*2+1,x,val);
    t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
    t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
    t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
    t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}

SegmentTree ask(int p,int l,int r)
{
    if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p];
    int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
    if(l<=mid&&mid<r)
    {
        SegmentTree lc=ask(p*2,l,r),rc=ask(p*2+1,l,r),self;
        self.sum=self.lmax=self.rmax=self.dat=0;
        self.sum=lc.sum+rc.sum;
        self.lmax=max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax);
        self.rmax=max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax);
        self.dat=max(max(lc.dat,rc.dat),lc.rmax+rc.lmax);
        return self;
    }
    if(l<=mid)
        return ask(p*2,l,r);
    if(mid<r)
        return ask(p*2+1,l,r);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);

    build(1,1,n);

    scanf("%d",&m);

    while(m--)
    {
        char op[2];
        int l,r;
        scanf("%s%d%d",op,&l,&r);

        switch(op[0])
        {
            case '1':{
                if(l>r)swap(l,r);
                printf("%d\n",ask(1,l,r).dat);
                break;
            }

            case '0':{
                change(1,l,r);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

\[
Thanks \ for \ watching
\]

原文地址:https://www.cnblogs.com/cjtcalc/p/12234901.html

时间: 2024-11-09 10:41:46

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