scipy在numpy的基础上提供了众多的数学、科学以及工程计算中常用的模块;是强大的数值计算库;
1. 常数和特殊函数
scipy的constants模块包含了众多的物理常数:
import scipy.constants as C
C.c ?#真空中的光速
C.h ?#普朗克常数
C.pi #圆周率?
在C.physical_constants字典中,通过物理常数的名称访问该物理常数,如:
C.physical_constants[‘speed of light in vacuum‘]
(299792458.0, ‘m s^-1‘, 0.0)
C.physical_constants[‘Planck constant‘]
(6.62606957e-34, ‘J s‘, 2.9e-41)
C.physical_constants[‘electron mass‘]
(9.10938291e-31, ‘kg‘, 4e-38)
返回一个包含三个值的元组,分别表示常数值、单位、误差;
scipy的special模块包含基本的数学函数、特殊数学函数、以及numpy中的所有函数;
由于浮点数的精度限制,有些函数的无法精确地表示结果,如log(1+1e-20),1+1e-20非常接近1,得到的结果将是0,而不是精确的值;log1p(1e-20)则可以得到精确的值:
import math
import scipy.special as S
math.log(1+1e-20,10)
0.0
S.log1p(1e-20)
9.9999999999999995e-21
同时,查看文档可以了解到:log1p是一个ufunc;
2. 优化:optimize
scipy的optimize模块提供了许多数值优化算法;
1. 最小二乘拟合
optimize.leastsq()对数据进行最小二乘拟合计算。leastsq()使用时,需要传递计算误差的函数和待确定的参数的初始值p即可;
直线拟合:
def residuals(p):
? ? k, b = p
? ? return Y - (k*X - b)
X 、 Y 为两个一维数组,表示点的X轴和Y轴位置;
r = leastsq(residuals, [1,0])
leastsq()函数传入误差计算函数和初始值[1,0],该初始值将作为误差计算函数的第一个参数传入;
计算的结果r是一个包含两个元素的元组,第一个元素是一个数组,表示拟合后的参数k、b;第二个元素如果等于1、2、3、4中的其中一个整数,则拟合成功,否则将会返回mesg ;更多的返回值见文档;
其他函数拟合(以正弦波拟合为例):
def func(x,p):
? ? A,k,theta = p
? ? return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)
def residuals(p,y,x):
? ? return y - func(x,p)
x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 ? #真实参数
y0 = func(x,[A,k,theta]) ? #真实值
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) ?# 加入噪声
p0 = [10, 0.3, 0.5] ?#猜测拟合参数,即初始值
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1,x)) # 除了初始值之外,还调用了args参数,用于指定residuals中使用到的其他参数(直线拟合时直接使用了X,Y的全局变量),同样也返回一个元组,第一个元素为拟合后的参数数组;
import ?pylab as pl
pl.plot(x,y0,label=u‘真实数据‘)
pl.plot(x,y1,label=u‘噪声数据‘)
pl.plot(x,func(x,plsq[0]),label=u‘拟合结果‘)
pl.legend()
pl.show()
拟合的过程中,猜测的初始值非常重要,需要先将噪声数据画出来,然后大致估计相位和频率,推出估计的初始值,再进行拟合;
2. 函数的最小值
optimize模块还提供了许多求函数最小值的算法:fmin、fmin_powell、fmin_cg、fmin_bfgs等,这些函数通过传入目标函数和初始值对最小值进行拟合,fmin*()这个类型的函数还提供一个fprime的参数,该参数为计算目标函数对各个自变量偏导数的函数。
3. 非线性方程组的求解
optimize模块中的fsolve()函数可以求解非线性方程组,该函数传入一个计算方程组误差的函数,和参数的初始值如:
def func(x):
? ? u1,u2,u3 = x
? ? return [f1(u1,u2,u3),f2(u1,u2,u3),f3(u1,u2,u3)]
result = fsolve(func,[1,1,1])
以上过程可以求:
f1(u1,u2,u3) = 0
f2(u1,u2,u3) = 0
f3(u1,u2,u3) = 0
的非线性方程组的解;?