多项式拟合

来源：同登科 《计算方法》 中国石油大学出版社 P106

*何为拟合？

　 从给定的函数表出发，寻找一个简单合理的函数近似表达式来拟合给定的一组数据。

这里所说的“拟合”,即不要所作的曲线完全通过所有的Σ数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势。数据拟合在实际中有广泛的应用。

它的实质是离散情况下的最小平方趋近，基本思想和处理方法也具有相似性。其几何解释是：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。

*多项式拟合

　　设由实验测得函数y=f(x)在n个点x1 ,x2,...,xn的值为y1,y2,...,yn,要求这个函数的一个近似表达式。我们用一个次数低于n-1(m<n-1)的多项式φm(x)来拟合它，设

　　　　　　　　　　　　　　　　φm(x) = a0+a1x+a2x2+…+amxm        (m < n -1)        　　　　　　　　　　　    　(1)

　　用最小二乘来确定系数a0，a1，…，am，令

　　　　　　　　　　　　　　　　Q(a0,a1,...,am)  = ∑ni=1(φm(x)-yi)2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = ∑ni=1(a0+a1xi+a2x2i+...+amxmi-yi)2

　　选a0,a1,...,am，使Q(a0,a1,...,am)达到最小，将Q对ak求偏导数，并令其等于零，有

或

　　　　　　　　　　        　　　　　　　　　　　　　　　    　（2）

写成矩阵形式为

　　　　　  （3）

上述方程组就称为多项式拟合的正规方程组，其系数阵为一对称矩阵，计算时只须将下列一些和式求出即可：。若（3）式的系数行列式不等于零，则由（3）式可以唯一地确定系数a0,a1,...,am.


例  已知函数表如下

xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 2 7 8 10 11 11 10 9 8

试用二次多项式曲线来拟合这组数据。

解： 设二次多项式为φ(x) = a0+a1x+a2x2,为了得到正规方程组，必须先算出以下各和：

　　　　　　　　　　　　

列表如下：

　　　　　　　　　　　　

由上表得正规方程组为

　　　　　　　　          

求解得  a0=-1.4597,a1=3.605,a2=-0.2676,

故φ(x)=-1.4597+3.6053x-0.2676x2.

时间： 2024-10-06 22:15:23

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