题目：codevs 1228 苹果树
链接：http://codevs.cn/problem/1228/
看了这么多树链剖分的解释，几个小时后总算把树链剖分弄懂了。
树链剖分的功能：快速修改，查询树上的路径。
比如一颗树
首先，我们要把树剖分成树链。定义：
fa[x]是x节点的上一层节点（就是他的爸爸）。
deep[x]是x节点的深度。
num[x]是x节点下面的子节点的数量（包括自己）
son[x]重儿子：一个节点的儿子的num[x]值最大的节点。其他的儿子都是轻儿子。
重链：重儿子连接在一起的路径，比如上图粗线就是重链（叶节点也是重链，只不过它只有一个点）。
重链之间是用一条轻链边连接的。
top[x]是每条重链的根节点，即是上图中的红色点。
tree[x]是数上节点在线段树上的编号
ftree[x]是线段树上节点在原来树的节点号
现在把它放到线段树里，从根节点开始编号为1，沿着重链走，每走到一个节点给它编号（可以用一个topa变量记录下一个编号），重链走完了走轻链。如图所示就给每条边都编上号了。如果边的长度没有，当然也可以把节点放在线段树上。图总的蓝色数字就是这条边在线段树里的位置，形成了区间，如下图。
然后把这个数组组成最终的线段树，就可以控制它的区间了。
可以发现，虽然看上去把树剖分放到线段树上好像打乱了树的顺序，线段树中的点仍然有原来树的影子。比如如果我要访问x节点的子树，那么这个节点的子树的区间就是从tree[x]到tree[x]+num[x]-1（-1是减掉自己这个节点）的区间。
我们可以用2个dfs来把剖分的动作实现。
第一个dfs先实现fa[x]，deep[x],num[x]的计算，num要在访问完子树之后计算，见代码：
1 void dfs1(int x)
2 {
3 num[x]++;
4 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
5 {
6 int dd=map[x][i];
7 if(dd!=fa[x])
8 {
9 fa[dd]=x;
10 deep[dd]=deep[x]+1;
11 dfs1(dd);
12 num[x]+=num[dd];
13 }
14 }
15 }
注释：map是STL的vector，用来储存边。
第二个dfs完成son[x],tree[x],ftree[x]的计算，代码如下：
1 void dfs2(int x)
2 {
3 topa++;
4 ftree[topa]=x;
5 A[topa]++;
6 tree[x]=topa;
7 int zi=0,mx=0;
8 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
9 {
10 int dd=map[x][i];
11 if(num[dd]>mx)
12 {
13 mx=num[dd];
14 zi=dd;
15 }
16 }
17 if(zi!=0) dfs2(zi); else return;
18 son[x]=zi;
19 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
20 {
21 int dd=map[x][i];
22 if(dd!=zi) dfs2(dd);
23 }
24 }
剖分动作结束，接下来是线段树的事情了。
这里再说一下如何在线段树上操作原树，之前提到过，其实在线段树上也有原来树的结构。
x的子树区间就是tree[x]到tree[x]+num[x]-1。
下面来看一下这道题：codevs 1228 苹果树
这是一个最基本的树链剖分。题目中要求计算一颗子树上有苹果多少颗，改变是点修改。因此只要找到那个节点，子树在线段树上的位置，线段树是维护某区间的苹果树数量，查询操作就是一般的线段树查询。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<vector>
3 #include<iostream>
4 using namespace std;
5 const int maxn=100010;
6
7 vector<int> map[maxn];
8 int fa[maxn],n,deep[maxn],num[maxn],topa,A[maxn],tree[maxn],ftree[maxn],son[maxn],sumv[maxn*4],k;
9
10 void dfs1(int x)
11 {
12 num[x]++;
13 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
14 {
15 int dd=map[x][i];
16 if(dd!=fa[x])
17 {
18 fa[dd]=x;
19 deep[dd]=deep[x]+1;
20 dfs1(dd);
21 num[x]+=num[dd];
22 }
23 }
24 }
25
26 void dfs2(int x)
27 {
28 topa++;
29 ftree[topa]=x;
30 A[topa]++;
31 tree[x]=topa;
32 int zi=0,mx=0;
33 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
34 {
35 int dd=map[x][i];
36 if(num[dd]>mx)
37 {
38 mx=num[dd];
39 zi=dd;
40 }
41 }
42 if(zi!=0) dfs2(zi); else return;
43 son[x]=zi;
44 for(int i=0;i<map[x].size();i++)
45 {
46 int dd=map[x][i];
47 if(dd!=zi) dfs2(dd);
48 }
49 }
50
51 void init(int o,int L,int R)
52 {
53 if(L==R) sumv[o]=A[L];
54 else
55 {
56 int M=(L+R)/2;
57 init(o*2,L,M);
58 init(o*2+1,M+1,R);
59 sumv[o]=sumv[o*2]+sumv[o*2+1];
60 }
61 }
62
63 int y1,y2,p;
64 void update(int o,int L,int R)
65 {
66 if(L==R) sumv[o]=(sumv[o]+1)%2;
67 else
68 {
69 int M=(L+R)/2;
70 if(p<=M) update(o*2,L,M);
71 else update(o*2+1,M+1,R);
72 sumv[o]=sumv[o*2]+sumv[o*2+1];
73 }
74 }
75
76 int ans;
77 void query(int o,int L,int R)
78 {
79 if(y1<=L && R<=y2) ans+=sumv[o];
80 else
81 {
82 int M=(L+R)/2;
83 if(y1<=M) query(o*2,L,M);
84 if(y2>M) query(o*2+1,M+1,R);
85 }
86 }
87
88 int main()
89 {
90 cin>>n;
91 for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++)
92 {
93 cin>>x>>y;
94 map[x].push_back(y);
95 }
96 deep[1]=1;
97 dfs1(1);
98 dfs2(1);
99
100 init(1,1,n);
101
102 cin>>k;
103 for(int i=1,x;i<=k;i++)
104 {
105 char tp;
106 cin>>tp;
107 if(tp==‘C‘)
108 {
109 cin>>x;
110 p=tree[x];
111 update(1,1,n);
112 }
113 else
114 {
115 cin>>x;
116 y1=tree[x];
117 y2=y1+num[x]-1;
118 ans=0;
119 query(1,1,n);
120 cout<<ans<<endl;
121 }
122 }
123 return 0;
124 }