题目:给定（可能是负的）整数A1、A2、…、AN，求出并确定对应的序列的最大值。如果所有的整数都是负数，那么最大连续子数列和就是0，只是求出最大值，不需要求出具体的序列，作为这个题目的变种有很多情况下给你一个确定的数列，具体求和，大同小异，共有四种解法，按照时间复杂度来解，object-c实现，解法如下:
穷举法
这个应该是这个题目最容易想到的方式，通过循环遍历出所有的序列组合，求出最大的序列的最大值，代码如下:
-(NSInteger)maxSubsequenceSum:(NSArray *)data{
NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和
for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {
for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {
NSInteger currentSum=0;//当前子序列的和
//data[start]~data[end]子序列的和
for (NSInteger i=start; i<=end; i++) {
currentSum+=[[data objectAtIndex:i] integerValue];
}
//通过判断给最大子序列的和赋值
if (maxSum<currentSum) {
maxSum=currentSum;
}
}
}
return maxSum;
}
这个算法三个循环，假设数组的长度为n，第一层循环为n，第二层循环n-start，第三层end-start，可算出时间复杂度O(n*n*n)=O(N^3)，时间复杂度是跟输入长度的立方有关，如果数组过长会是一个灾难~
穷举精简版
对data[start]~data[end]子序列求和，可以由上一次求和data[start]~data[end-1]的结果加上data[end]得到，不需要重头开始计算，时间复杂度为O(N^2)
-(NSInteger)maxSubsequenceSumSecond:(NSArray *)data{
NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和
for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {
NSInteger currentSum=0;//当前子序列的和
for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {
//data[start]~data[end]子序列的和，通过end加入，不需要循环
currentSum+=[[data objectAtIndex:end] integerValue];
if (maxSum<currentSum) {
maxSum=currentSum;
}
}
}
return maxSum;
}
递归版
题目中最大子序列可能在三个地方出现，左半部，右半部，跨越输入数据的中部而占据左右两部分。前两种情况递归求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分最大和（包含前半部分最后一个元素）以及后半部分最大和（包含后半部分的第一个元素）相加而得到。
-(NSInteger)maxSubsequenceSumThird:(NSArray *)data leftIndex:(NSInteger)left rightIndex:(NSInteger)right{
if (left==right) {
if (data[left]>0) {
//空集也算是子序列，空集和为0，最大子序列和最小为0
return [data[left] integerValue];
}else{
return 0;
}
}
NSInteger center=(left+right)/2;
NSInteger maxLeftSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:left rightIndex:center];
NSInteger maxRightSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:center+1 rightIndex:right];
//左半部分中包含最右边元素的子序列的最大和
NSInteger maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0;
for (NSInteger i=center; i>=left; i--) {
leftBorderSum+=[data[i] integerValue];
if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum) {
maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
}
}
//右半部分包含最左边的值
NSInteger maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0;
for (NSInteger i=center+1;i<right;i++) {
rightBorderSum+=[data[i] integerValue];
if (rightBorderSum>maxRightBorderSum) {
maxRightBorderSum=rightBorderSum;
}
}
//跨越左右部分的最大序列和
NSInteger maxMiddleSum=maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum;
//左部分，右部分，跨越左右的最大序列和的最大值
NSInteger result=maxLeftSum>maxRightSum?maxLeftSum:maxRightSum;
return result>maxMiddleSum?result:maxMiddleSum;
}
如果left==right，那么T(1)=1，两层循环的时间的次数2/N，最后的时间复杂度T(N)=2T(N/2)+O(N),等价于2T(N/2)+N，T(N)=N*(K+1)（这个可以自己推导），T(N)=N*(k+1)=NlogN +N=O(N )；
最简版
一次遍历，如果小于0，重新设置循环的位置，时间复杂度O(N)：
-(NSInteger)maxSubsequenceSumFour:(NSArray *)data{
NSInteger maxSum=0,currentSum=0;
for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {
currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];
//判断当前序列的和是否为正数
if (currentSum<0) {
currentSum=0;
}
else if(maxSum<currentSum) {
maxSum=currentSum;
}
}
return maxSum;
}
还有一个极端的情况，如果都是负数，不想返回0，获取最大的负整数即可:
-(NSInteger)maxSubsequenceSumSpecial:(NSArray *)data{
NSInteger maxSum=[[data objectAtIndex:0] integerValue],currentSum=0;
NSInteger maxNegative=[[data objectAtIndex:0] integerValue];
for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {
currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];
if (currentSum<0) {
currentSum=0;
}
else if(maxSum<currentSum) {
maxSum=currentSum;
}
if (maxNegative<[data[index] integerValue]) {
maxNegative=[data[index] integerValue];
}
}
return maxSum>maxNegative?maxSum:maxNegative;
}
调用如下:
NSArray *dataSource=[[NSArray alloc]initWithObjects:@"10",@"-9",@"-3",@"8",@"-2", nil];
MaxSubsequence *maxSubsequence=[[MaxSubsequence alloc]init];
NSInteger result=[maxSubsequence maxSubsequenceSum:dataSource];
NSLog(@"最大的连续子序列的和:%ld",(long)result);
NSInteger resultSecond=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSecond:dataSource];
NSLog(@"第二种最大的连续子序列的和:%ld",(long)resultSecond);
NSInteger thirdResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumThird:dataSource leftIndex:0 rightIndex:dataSource.count-1];
NSLog(@"第三种最大的连续子序列的和:%ld",(long)thirdResult);
NSInteger fourResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumFour:dataSource];
NSLog(@"第四种最大的连续子序列的和:%ld",(long)fourResult);
NSInteger specialResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSpecial:dataSource];
NSLog(@"第四种全是负数最大的连续子序列的和:%ld",(long)specialResult);
结果是10，数组简单定义下，重要是看过程~
时间： 2024-10-05 17:41:16