HihoCoder 1527 动态规划

https://hihocoder.com/problemset/problem/1527

时间限制:20000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

在写代码时，我们经常要用到类似 x × a 这样的语句( a 是常数)。众所周知，计算机进行乘法运算是非常慢的，所以我们需要用一些加法、减法和左移的组合来实现乘一个常数这个操作。具体来讲， 我们要把 x × a 替换成：(x<<a₀) op₁ (x<<a₁) op₂ (x<<a₂) ... op_n (x<<a_n) 这样的形式，其中op_i 是+或者-。

举个例子：x × 15 = (x<<4) - (x<<0)。

在本题中，假设左移（包括左移0）和加法、减法所需要的时间都是一个单位的时间，上述的例子所需要的时间是3。

现在给定常数 a 的二进制形式，求实现 x × a 最少需要多少单位的时间。

输入

一个01串，表示 a 的二进制形式，从左到右分别是从高位到低位。

0 < 01串的长度之和 ≤ 10⁶。

a > 0。

输出

输出一个数，表示最小需要多少单位的时间可以实现 x × a。

样例输入

1111

样例输出

3

错解：

贪心选择超过两个连续的1的决策不如使用高位减低位的方法，110不如1<<3 – 1<<1

然后，单个1选择直接加上。

如果两个大块（2个连续1以上）中间之隔为1个0，那么可以合并，110110不如 1<<6 – 1<<4 + 1<<3 – 1<<1 = 1<<6 – 1 <<3 – 1<<1

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const int N = 1e6 + 5;

char s[N];

int main()

{
    while(scanf("%s", s) != EOF)
    {
        int n = strlen(s);
        int cnt = 0;
        int i = 0;
        while(i < n)
        {
            int k = 0;
            while(i < n && s[i] == ‘1‘)
            {
                k++;
                i++;
            }
            if(k == 1) cnt++;
            else if(k >= 2) cnt += 2;
            if(k >= 2 && i+2 < n && s[i+1] == ‘1‘ && s[i+2] == ‘1‘)
                cnt -= 1;
            if(i < n && s[i] == ‘0‘)
                i++;
        }
        printf("%d\n", 2*cnt-1);
    }
    return 0;
}

题解：很多都是二幂划分的解释，也可以用dp来做

从低位往高位考虑。dp[i]表示第i位的时候需要进行最少操作数

如果当前位是0，dp[i] = dp[i-1]

如果当前位是1，可以有两种选择，直接加上dp[i] = dp[i-1] + 1;

或者，把某一部分的0全部补上，然后用高位1减去，例如01100 = 10000 – 00100，也就是 [x, i]全部都变成1，也就是要补上x~i的0

dp[i] =min{ dp[x-1] + 2 + sum[i] – sum[x-1]}

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const int N = 1e6 + 5;

char s[N];
int sum[N], dp[N];
int main()
{
    scanf("%s", s+1);
    int n = strlen(s+1);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    reverse(s+1,s+1+n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] =sum[i-1] + (s[i] == ‘0‘);
    dp[0] = 0;
    int mx = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(s[i] == ‘0‘)
            dp[i] = dp[i-1];
        else
        {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
            if(mx > 0)
                dp[i] = min(dp[i], dp[mx-1] + 2 + sum[i] - sum[mx-1]);
        }
        if(mx == -1 || dp[i-1] + 2 + sum[i+1] - sum[i-1] <= dp[mx-1] + 2 + sum[i+1] - sum[mx-1])
            mx = i;
    }
    printf("%d\n", 2*dp[n]-1);
    return 0;

}