RMQ问题的Sparse-Table算法

范围最小值问题(Range Minimum Query)

给出一个n个元素的数组，设计数据结构使得支持查询操作Query(L,R) 计算[L,R]中最小值

Tarjan的Sparse-Table算法预处理时间为O(nlogn) 查询只需要O(1)而且常数很小。

假设dp[i][j]表示从第i个数开始的2^j个数的最小值。

有下列公式：

dp[i][j] = min(dp[i,j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1])

公式解释：

dp[i][j]表示s[i] s[i+1]…s[i+2^j-1]这一段的最小值

dp[i][j-1]表示s[i] s[i+1]…s[i+2^(j-1)-1]这一段的最小值

dp[i+2^(j-1)][j-1]表示s[i+2^(j-1)] s[i+2^(j-1)+1]…s[i+2^j-1]这一段的最小值

可以看出，后两者的和刚刚好覆盖了dp[i][j]。

注意2^j<=n 因此dp数组的元素个数不超过nlogn，而每一项都可以在常数时间计算完毕，所以总时间为O(nlogn)

void RMQ_init(const vector<int> &A)
{
    int n = A.size();
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++) dp[i][0] = A[i];
    for(int j = 1 ; (1<<j) <= n ; j ++) {
        for(int i = 0 ; i+(1<<j)-1 < n ; i ++) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

查询操作也很简单，令k为满足2^k <= R-L+1的最大整数。

所以以L开头，以R结尾的两个区间合起来即覆盖了查询区间[L,R]

int RMQ(int L,int R)
{
    int k = 0;
    while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k ++;
    return min(dp[L][k],dp[R-(1<<k)+1][k]);
}

NOJ1042 裸RMQ问题的Sparse-Table实现

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10010;
int n;
int s[maxn];
int dp[maxn][15];
int query(int a,int b)
{
    int k = 0;
    while(1<<(k+1) <= b-a+1) k++;
    return min(dp[a][k],dp[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) scanf("%d",&s[i]);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) dp[i][0] = s[i];
    for(int j = 1 ; (1<<j) <= n ; j ++) {
        for(int i = 1 ; i+(2<<(j-1))-1 <= n ; i ++) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--) {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",query(a,b));
    }
    return 0;
}