离散对数

离散对数就是解方程：

$$求最小的非负整数x满足,a^x \equiv b(mod n)$$

我们先谈论简单一点的，$gcd(a,n)=1$的情况：

$$求最小的非负整数x满足,a^x \equiv b(mod n),其中gcd(a,n)=1$$

记$m=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$

那么$x$一定可以表示为$x=im+j(0\leq i\leq m,0\leq j< m)$

变形一下：

$a^{im+j} \equiv b(mod n)$

$a^{im}*a^j \equiv b(mod n)$

我们先用一个map保存所有$a^j(0\leq j< m)$的值，一共有$m$个。

枚举$a^{im}$，一共有$m$个，把$a^{im}$看成常数$a‘$，$a^{j}$看成未知数$x‘$，其实就变成解线性方程：$a‘x‘\equiv b(mod n)$

用拓展欧几里得，因为$gcd(a,n)=1$，所以$gcd(a^{im},n)=1$，即$gcd(a‘,n)=1$，所以一定有解。

求出未知数$x‘$后，我们再看看map里面是否有$a^j=x‘$，如果有，那么$j+im$就是一个解。

好，我们现在来讨论$gcd(a,n)$不一定等于1的情况。

$$求最小的非负整数x满足,a^x \equiv b(mod n)$$

我们想通过消因子，使得变成上面那种情况。

设$d=gcd(a,n)$，且$a=a‘d$，$n=n‘d$

变成：

(a‘d)^x \equiv b(mod n‘d)

显然如果$b\%d\neq 0$，那么一定没有解

假设现在$b\%d=0$，$b=b‘d$

变成：

$(a‘d)^x \equiv b‘d(mod n‘d)$

$a‘*(a‘d)^{x-1} \equiv b‘(mod n‘)$

$a‘*a^{x-1} \equiv b‘(mod n‘)$

很好，现在我们已经拿出来了一个因子$a‘$了

但是我们还是不能保证$gcd(a,n‘)=1$，但我们可以做多次，使得$gcd(a,n‘)=1$

核心代码如下：

LL c=1,cnt=0;
while(1)
  {
      LL d=gcd(a,n);
      if(d==1)break;
      if(b%d!=0)return 0;
      c*=a/d;
      cnt++;
      n/=d;
      b/=d;
  }

于是原问题变成：

$$求最小的非负整数x满足,c\times a^{x-cnt}\equiv b(mod n),其中gcd(a,n)=1$$

很好，变成上面那种情况了。

注意容易错的是，答案$x$有可能小于$cnt$,所以先要测试一下$0,1...,cnt-1$是否满足。