URAL 1183 Brackets Sequence DP 路径输出

题意：长度小于100的字符串s只由四种字符"()[]"组成，求以该串为子串的最短的合法串。合法串递归定义为：

(1)空串合法

(2)如果S合法，则(S)、[S]合法

(3)如果A、B合法，则AB合法

思路：

设dp[i][j]为s(i,j)变为合法串后，合法串的长度或需要添加的字符的个数，状态转移：

(1)如果s[i]和s[j]匹配，dp[i,j]=dp[i+1,j-1]。

(2)如果不匹配，划分s(i,j)为s(i,k)和s(k+1,j)，划分后dp[i,j]=dp[i,k]+dp[k+1,j]，如果两个子串匹配的括号数最多，那么需要添加的字符比较最少，即dp[i,k+1]+dp[k+1,j]最小，k类似分段点，s(i,k)和s(k+1,j)可以分别输出，所以dp[i,j]=min(dp[i,k]+dp[k+1,j])

依赖关系：

求dp[i,j]要先求[i,k][k,j]，即大区间依赖于小区间，所以要从区间长度最小的开始遍历。要把小区间全部遍历完，就从0开始遍历起点。所以有

 for len = 2 to n

    for start = 0 to n-1

      状态转移，遍历k

初始状态：

dp[i][i]一定需要匹配一个字符，所以dp[i,i]=1

输出

如果知道s中哪个是不能在s中匹配的，在该字符旁边加一个匹配的就可以了。s[i,j]需要dp[i,j]个字符匹配，分情况讨论情况：

如果i>j，非法区间

如果i==j，单个字符，直接输出对应的"()"或者"[]"

如果i<j，合法区间，分情况

如果s[i]和s[j]匹配，只需看s(i+1,j-1)看，递归输出 output(s[i]); output(i+1,j-1); output(j)；

如果s[i]和s[j]匹配不匹配，在dp[i,k]在状态转移时分段点k是唯一的，(i,k)和(k+1,j)是独立的，所以可以用一个pos[i,j]记录下k，然后分段输出，即output(i,k); output(k+1,j)

算法步骤：

步骤1：初始化dp[][]为无穷大，dp[i][i]=1，pos=-1。

步骤2：递推求dp[i][j]，然后根据pos递归输出新串。

代码：

int dp[110][110],pos[110][110];
void DFSprint(int l,int r)   // 路径输出
{
     if(l>r) return ;
     if(l==r){
         if(s[l]==‘(‘||s[l]==‘)‘) cout << "()" ;
         else cout << "[]" ;
     }
     else if(pos[l][r]==-1){
         cout << s[l]; DFSprint(l+1,r-1); cout << s[r];
     }
     else{
          DFSprint(l,pos[l][r]);  DFSprint(pos[l][r]+1,r);
     }
}
int main()
{
    cin >> s ;
    memset(dp,inf,sizeof(dp));
    memset(pos,-1,sizeof(pos));
int len = s.size();

for(int i=0;i<len;++i)
dp[i][i]=1,dp[i+1][i]=0;

    for(int length=1; length<len; ++lenght){
        for(int start=0; start+length<len; ++start){
            dp[i][j]=len+1; // max
            // s[i] s[j] 匹配
if( (s[i]==‘(‘&&s[j]==‘)‘) || (s[i]==‘[‘&&s[j]==‘]‘))
                dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i+1][j-1]);
            // 状态转移
            for(int k=i;k<j;++k){
                if(dp[i][j] > dp[i][k]+dp[k+1][j]){
                    dp[i][j] =  dp[i][k]+dp[k+1][j];
                    pos[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    DFSprint(0,len-1);
    cout << endl;
    return 0;
}