有趣的概率算法--生日悖论

在算法导论书上看到个比较有意思的概率算法，在这里加上自己的理解分享下：

上次刚看同学发的朋友圈说道：“两个人同一间宿舍，而且同年同月同日生，这个缘分真的是醉了”，当时我也是醉醉的，看了这个算法后才发现，屋里有23个人，那么就可以50%的概率生日是一样的。

是这样子证明的：

首先，假设屋子里有K个人，分别对他们编号1,2,3….k号。不考虑闰年的情况，那么一年就有n=365天，首先还是要假设生日是均匀分布在一年的n天中（喜欢在春天生就都在春天生这就不均匀了），然后还要假设两个人生日相互独立（什么双胞胎那些还用得着算么），

那么两个人同一天（具体的一天）生日的概率就1/n² (生日的概率是1/n,两个人同一天生日当然就相乘了~)，那么两个人同一天生日（365天随便一天）的概率就是1/n (n个1/n²相加)

也就是说假如屋里面有两个人，那么他们同一天生日的概率是1/365,那现在要解决的问题是，屋里要有多少人，才能使这个概率上升到1/2 ?

用事件的对立面来求，假设事件P={屋里至少两个人生日一样}，Q={屋里每个人生日都不一样}，那么P=1-Q

那么知道Q的概率就能知道P的概率了，设B_K为前K个人的生日都有一样，A_i为前第i个人与前i-1一个人的生日都不一样，那么就可以得到递推式子

B_k=B_k-1^A_k

它的等价形式为

P{B_k}=P{B_k-1}P{ A_k | B_k-1}

应用递归式可以得到P{B_k}=P{B₁} P{ A₂ | B₁} P{ A₃ | B₂}… P{ A_k-1 | B_k-2} P{ A_k | B_k-1}

=1*(n-1/n) (n-2/n)… (n-k+1/n)(B₁是规定为1的，然后P{ A₂ | B₁}就是365中有一天已经给B₁用了，那么就剩下n-1天了，所以概率为(n-1/n))

P{B_k}=1*(1-1/n) (1-2/n)… (1-k-1/n)

然后已知 1+x<=e^x(两个都是单调增函数，取0时为相等，过了就e^x 大了，高中学的嘿嘿)

那么有1*( ) ( )… ( )<=(e^-1/n)(e^-2/n)…(e^-(k-1/n))= (e^-k(k-1)/2n))<=1/2

求得当n=365时，必有k>=23,所以结论是至少有23个人在一间屋子里，那么至少有两个人生日相同的概率至少是1/2。