6003. 「网络流 24 题」魔术球

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题目类型：传统评测方式：Special Judge

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题目描述

假设有 n nn 根柱子，现要按下述规则在这 n nn 根柱子中依次放入编号为 1,2,3,4,? 1, 2, 3, 4, \cdots1,2,3,4,? 的球。

1. 每次只能在某根柱子的最上面放球。
2. 在同一根柱子中，任何 2 22 个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在 n nn 根柱子上最多能放多少个球。

输入格式

文件第 1 11 行有 1 11 个正整数 n nn，表示柱子数。

输出格式

第一行是球数。接下来的 n nn 行，每行是一根柱子上的球的编号。

样例

样例输入

4

样例输出

11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11

数据范围与提示

1≤n≤55 1 \leq n \leq 551≤n≤55

题目链接：https://loj.ac/problem/6003

题意：中文题目，意思明显。

思路：贪心或者点不重复的最小路径覆盖。现在讲一下我的艰难的ac历程，好吧，其实还是蛮简单的。我首先暴力二分ans，然后求最小路径覆盖是否为n，发现TLE，此时我发现了一个问题，那就是n很小，于是我就把每个n的ans打了个表出来，然后直接跑匹配求最短路，AC了。尽管AC了，然后我发现了，这其实是一个贪心题。按照如下的顺序放球：

1 3 6 10 15....

2 7 9 16 20....

4 5 11 14 22....

8 7 23....

12 13....

....

现在想一下，其实不用打表，直接用匹配跑最短路。将答案从1依次递增，然后每次跑匹配，但是每次跑的时候不需要初始化，也不要从1开始，直接从i开始，因为前面的已经跑过了，并且没有新增加前面的点出度的边，所以可以直接从i开始。最后当最短路径大于n是退出循环就可以了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn=1e6+100,maxm=1e5+1000,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const ll INF=1e18+7;
vector<ll>G[maxn];
bool used[maxn];
int cx[maxn],cy[maxn];
bool vis[maxn];
int res=0;
bool dfs(int u)
{
    for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(used[v]) continue;
        used[v]=true;
        if(cy[v]<0||dfs(cy[v]))
        {
            cx[u]=v,cy[v]=u;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int solve(int n)
{
    res+=dfs(n);
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int ans=1;
    memset(cx,-1,sizeof(cx));
    memset(cy,-1,sizeof(cy));
    for(int i=1; i<=2000000; i++)
    {
        int x=(int)(sqrt(i+1));
        while(x*x-i<i)
        {
            if(x*x-i>=1) G[i].push_back(x*x-i);
            x++;
        }
        if(i-solve(i)>n) break;
        ans=i;
    }
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=ans; i>=1; i--)
    {
        if(vis[i]) continue;
        printf("%d",i);
        for(int j=i; cx[j]!=-1; j=cx[j],vis[j]=true)
            printf(" %d",cx[j]);
        printf("\n");
    }
}

点不重复最短路径覆盖