[LeetCode][Java] Minimum Path Sum

题目：

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

题意：

给定一个m x n
大小的网格结构，网格中包含非负数组。现从网格的左上角移动到右下角，找出一条路径，使得路径中的数字和最小。

注意：每次移动只能向下或者向右。

算法分析：

方法一：递归

采用递归策略，从右下角终点开始向前递归，也是利用了问题的最优解包含子问题的最优解这一思想，层层递归，直到起点。

但是在Leetcode 网站上测试超时了(囧)

代码如下：

</pre><pre name="code" class="java" style="font-size: 14px;">public class Solution
{
    /*递归超时了
    public int minPathSum(int[][] grid)
    {
        int res=0;
        int legh=grid.length;
        int legl=grid[0].length;
        if(legh==0) return 0;
        if(legh==1&&legl==1) return grid[0][0];
        res=MinRecursive(legh-1,legl-1,grid);
    	return res;
    }
    private static int  MinRecursive(int i,int j,int[][] grid)
    {
    	if( i==0 && j==0)
    		return grid[0][0];
    	if(i==-1||j==-1) return Integer.MAX_VALUE;
    	return Math.min(MinRecursive(i-1, j,grid),MinRecursive(i,j-1,grid))+grid[i][j];
   	}
}

方法二：动态规划

*首先可以找出递推关系，递推要比递归快很多，因此在大规模数据上比递归更具优势。

*比如设存放起点到每个格子 i，j 的最小路径和的二维数组为 res[i][j]，那么递推公式为：

*res[i][j] = Min（res[i-1][j]，res[i][j-1]）+ val[i][j]；

*也就是其左侧格子( i,j-1) 或者其上侧格子 (i-1,j)这两个来源的较小路径值，再加上当前格子的值 val[i][j] 即为结果。

*提前算好为左侧格子和上侧格子的最短路径结果，下面每次计算某个格子时，利用算好的阶段
、状态来计算当前格子的结果

*这也是动态规划比递归要快的原因。

代码如下：

  //方法二，动态规划
   public int minPathSum(int[][] grid)
    {
        if(grid.length==0)
            return 0;
        int res[][] = new int[grid.length][grid[0].length];
        res=grid;
        int i, j;
        for( j=1; j<res[0].length; ++j)
            res[0][j] += res[0][j-1];
        for(i=1; i<res.length; ++i)
            res[i][0] += res[i-1][0];
        for(i=1; i<res.length; ++i)
        {
            for(j=1; j<res[i].length; ++j)
            {
                res[i][j] = Math.min(res[i-1][j], res[i][j-1])+grid[i][j];
            }
        }
        return res[grid.length-1][grid[0].length-1];    //注意行列的size不一定一样
    }