ACM程序设计报告

- -王浩 14级计算机4班

通过十六周的acm程序设计实习，感受颇深，acm不仅仅是对编程能力的锻炼，更是对逻辑思维能力的提升。从第一专题到第四专题，stl，贪心算法，搜索，背包，动态规划，图论，最小生成树等等，这些知识都是之前在各门课中接触到过的，但是在acm中，我对算法有了一个新的认识，也对之前学的知识有了更深入的认识。

对acm的认识是从大一开始的，当时在东校的时候也是到本部参加了一段时间的acm程序设计课，当时接触的东西比较少，而且是光学了C语言，对程序设计的理解非常浅显，平时最常干的事就是做openjudge，后来参加了acm课，讲的堆栈，stl什么的，就感觉非常难于理解，寒假的刷题也没有坚持下来，然后就浑浑噩噩了一段时间，开学就没有继续上课。后台转了专业，又选了acm，才算是开始真正对acm的学习。

然后总结一下一个学期acm的学习吧，以及一些做题的感悟：

stl标准模板库：

STL标准模板库（英文：Standard Template Library，缩写：STL），是一个C++软件库，也是C++标准程序库的一部分。其中包含4个组件，分别为算法、容器、函数、迭代器。这是在维基百科中的解释。当时学习stl的做了一部分笔记，stl在a题的时候用处还是比较多的。简单总结一下吧，stl中有六大容器：

容器（Container），是一种数据结构，如list，vector，和deques
，以模板类的方法提供。为了访问容器中的数据，可以使用由容器类输出的迭代器；

迭代器（Iterator），提供了访问容器中对象的方法。例如，可以使用一对迭代器指定list或vector中的一定范围的对象。迭代器就如同一个指针。事实上，C++的指针也是一种迭代器。但是，迭代器也可以是那些定义了operator*()以及其他类似于指针的操作符地方法的类对象；

算法（Algorithm），是用来操作容器中的数据的模板函数。例如，STL用sort()来对一个vector中的数据进行排序，用find()来搜索一个list中的对象，函数本身与他们操作的数据的结构和类型无关，因此他们可以在从简单数组到高度复杂容器的任何数据结构上使用；

仿函数（Function object，仿函数(functor)又称之为函数对象（function object），其实就是重载了()操作符的struct，没有什么特别的地方

迭代适配器（Adaptor）

空间配制器（allocator）其中主要工作包括两部分1.对象的创建与销毁    2.内存的获取与释放。

讲acm的时候涉及了一些数据结构的知识，就是栈，队列。总体感觉学习acm对于学习数据结构还是很有帮助的。

贪心算法：

后来讲到了贪心算法，贪心算法的思想就是以局部最优找寻全局最优。在a题的时候，贪心算法主要解决了诸如背包价值最大，节目安排时间最优等问题。在贪心算法的设计中，有以下几点注意事项：

（1）候选集合A：为了构造问题的解决方案，有一个候选集合A作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合A。

（2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直到构成满足问题的完整解。

（3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问题的完整解。

（4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标函数有关。

（5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。

当事老师讲课时举了一个十分搞笑的例子，就是往书包里装吃的，印象比较深刻。

接下来讲到了搜索，个人感觉搜索还是很重要的，以及对于深搜与广搜的理解，过几天就要靠数据结构了，趁这个机会着重复习一下。

深度优先搜索（DFS）：

基本思想：从初始状态，利用规则生成搜索树下一层任一个结点，检查是否出现目标状态，若未出现，以此状态利用规则生成再下一层任一个结点，再检查，重复过程一直到叶节点（即不能再生成新状态节点），当它仍不是目标状态时，回溯到上一层结果，取另一可能扩展搜索的分支。采用相同办法一直进行下去，直到找到目标状态为止。

在图中，深度优先遍历类似于树的前序遍历。

从图中某顶点v出发进行深度优先遍历的基本思想是：

（1）访问顶点v；

（2）从v的未被访问的邻接顶点选一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历

（3）重复上面两步，直到所有的相同的顶点都被访问到。

伪代码是：（1）访问顶点v，visited[v] = 1  //设置顶点已被访问

（2）w=顶点v的第一个邻接点；

（3）while（w存在）

If（w被访问）从顶点w出发递归该算法

Else w=顶点v的下一个邻接点

广度优先算法（BFS）：

基本思想：从初始状态s开始，利用规则，生成所有可能的状态。构成下一层的节点，检查是否出现目标G，若未出现，则对该层顶点分别顺序利用规则生成下一层的所有节点，人后判断下一层又没有出现目标节点G，若以让没有出现，则递归调用算法，若已经出现，则程序结束。

在图中广度优先遍历类似于树的层序遍历。

在图中某顶点出发进行广度优先遍历的基本思想是：

（1）访问顶点v

（2）依次访问v的每一个未被访问的邻接顶点v1，v2，v3...，vn；

（3）分别从v1,v2...v k出发依次访问他们未被访问到的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问的定点的邻接点”被访问。直至图中的所有与顶点v相连通的顶点都被访问到。

伪代码： （1）初始化队列Q

（2）访问顶点v，visited[i] =1；顶点v入队列q；

（3）while（队列i非空）

V = 队列Q的队头元素出队

W = 顶点v的第一个邻接顶点

While（w存在）

如果w未被访问，则访问顶点w；visited[w] = 1；顶点w入队

W = 顶点v的下一个邻接点；

深度优先搜索与广度优先搜索的区别：

深搜是找到一条路，然后一直向下发展，直至找到对象，或者没有找到，换一条路继续深搜。而广搜则是一种层序遍历，从根节点开始，一层一层的遍历，直到找到对象。总之，一般情况下，深度优先搜索法占内存少但速度较慢，广度优先搜索算法占内存多但速度较快，在距离和深度成正比的情况下能较快地求出最优解。

动态规划：

接下来是动态规划，在做DP专题的题的时候，总是感觉这是纯粹的数学问题，有好多题都是一个简单的递推公式就可以解决的，下面来总结一下吧：

首先，动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。

动态规划的几个概念：

阶段：据空间顺序或时间顺序对问题的求解划分阶段。

状态：描述事物的性质，不同事物有不同的性质，因而用不同的状态来刻画。对问题的求解状态的描述是分阶段的。

决策：根据题意要求，对每个阶段所做出的某种选择性操作。

状态转移方程：用数学公式描述与阶段相关的状态间的演变规律。

动态规划常常适用于有重叠子问题[1]和最优子结构性质的问题，如果不具备这种结构，则不能使用动态规划解决问题。

我感觉，动态规划总的来说就是将一个复杂的大的问题进行分解，分解成一些小的问题景行分别求解，到最后进行用递推解决问题。

老师在讲课的时候说，动态规划是用空间换时间，感觉也是阐述了动态规划的拆分的思想。

背包

接下来是背包问题，之前上课的时候总是会把背包问题和贪心算法联系到一起。

首先，0-1背包：

我对0-1背包就是一个物品，要么放，要么不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

其次，完全背包：

与0-1背包不同的是，在完全背包中，每种物品都可以使用多次，当然，也可以一次都不使用。

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(VN)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度可以认为是O(V*Σ(V/c[i]))，是比较大的。

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

最后，是多重背包:

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

同时，多重背包问题还可以转化成0-1背包做。

背包问题总是理解的不够深入，下学期学算法的时候要重新看一下这一节。

图论

首先图的定义：图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

最早接触图论是学离散数学的时候，当时记忆最深的是七桥问题，郝建民老师对图论哪一章讲了好久，现在数据结构又学了一遍，感觉理解的还可以了。

讲图之前讲了树，里面的各种概念就不一一赘述了。相比较图来说，树的数据结构比较图来说还是比较简单的。

图中的概念也不一一赘述了，在图论的这一章节，a题的时候感觉主要还是最小生成树问题。最小生成树问题，主要的解决方法有prim算法，kruskal算法，Dijkstra算法等。数据结构中讲了prim算法和kruskal算法，接下来对这几个算法总结一下：

Prim算法：

图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew
= {}；

（3）重复下列操作，直到Vnew = V：

（4）在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

（5）将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；

（6）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

伪代码：

1.初始化：u={v0}；te={}；

2.重复下述操作，直到u=v;

（1）在e中寻找最短边，且满足u属于v；v属于v-u；

（2）U = u+{v};

（3）Te = te+{（u，v）}；

Kruskal算法：

图论中的算法，与prim算法的区别是Kruskal算法是每次查找一个边，而prim算法是每次加一个顶点。
设有一个有n个顶点的连通网N={V,E},最初先构造一个只有n个顶点，没有边的非连通图T={V,
E},图中每个顶点自成一个连通分量。当在E中选到一条具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

步骤：

（1）新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边

（2）将原图中所有的边按权值从小到大排序

（3）从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中

（4）重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中

总之，kruskal算法还是比较容易理解的一种算法。

Dijkstra算法：

是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

1.初始化所有结点并将起始点设为标记，进入以下循环

2.在到达某点的最短路径中找最小且未标记的点（可以用一维数组表示）

3.标记找到的点，以此标记点为中间点重新计算所有未标记点的最短路径（更新最短路径表）

4.循环1.2步至n-1次（n为顶点数，若最后还有未被标记的，说明无法到达此点）

这学期对于acm的学习大致就是这几个模块，四个专题的学习还是感觉收获颇深。理解了怎样真正提高算法运算效率，提高算法的整体逻辑，也给这学期的数据结构学习带来了很大的帮助。这个学期学的东西也比较多，课非常多，加上有一些项目要做，acm投入的时间多少有些不足，对acm的认识可能也不是很深刻，希望明年的算法设计与分析课可以投入更多的精力。