算法导论 第7章 高速排序

高速排序在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，尽管在最坏情况下执行时间比較差，可是高速排序一般是用于排序的最佳选择。由于其平均性能相当好，期望的执行时间为O(nlgn)，且在O(nlgn)的记号中隐含的常数因子非常小。

高速排序和合并排序有相似之处，都是须要划分序列，在合并排序中。划分的过程非常easy。直接选择元素序列的中间位划分位置，排序是在合并的过程中实现的，所以合并排序的合并过程非常重要。相比合并排序，高速排序就没有合并的过程。仅仅有划分，高速排序的划分过程非常重要，排序是在划分的过程中实现的。

/*
 *	算法导论 第七章 高速排序
 *	最坏情况下时间复杂度为O(n^2)，这样的情况出如今每次选择pivot的时候
 *	都选到了最大或者最小的元素。即每次划分都有一边为空。

*	其平均时间复杂度为O(nlgn)，仅仅要每次划分，每一边的元素都至少有一个即可
 */

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;

void printArray(int arr[], int len)
{
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		cout << arr[i] << " ";
	}
	cout << endl;
}

void quickSort(int arr[], int p, int r);
int partition(int arr[], int p, int r);
void exchange(int arr[], int i, int j);
int randomizedPartition(int *arr, int p, int r);
void randomizedQuickSort(int *arr, int p, int r);

int main()
{
	int arr[] = {12, 21, 9, 80, 3, 11, 90, 4, 67};
	int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

	cout << "原数组：" << endl;
	printArray(arr, len);

	//quickSort(arr, 0, len-1);
	randomizedQuickSort(arr, 0, len-1);

	cout << "高速排序后的数组：" << endl;
	printArray(arr, len);
}

void quickSort(int arr[], int p, int r)
{
	if (p < r)
	{
		int q = partition(arr, p, r);
		quickSort(arr, p, q-1);
		quickSort(arr, q+1, r);
	}
}

int partition(int arr[], int p, int r)
{
	int pivot = arr[r];
	int i = p - 1;//i前面的（包含i）的元素都是不大于pivot的。i后面的都是大于pivot的元素
	int j;//j后面的（包含j）都是还没有划分的
	for (j=p; j<=r-1; j++)
	{
		if (arr[j] <= pivot)
		{
			i++;
			exchange(arr, i, j);
		}
	}
	i++;
	exchange(arr, i, r);
	return i;
}

void exchange(int arr[], int i, int j)
{
	int temp = arr[i];
	arr[i] = arr[j];
	arr[j] = temp;
}

/*
 *	随机化划分
 */
int randomizedPartition(int *arr, int p, int r)
{
	srand(time(NULL));
	int i = p + rand() % (r-p+1);
	exchange(arr, i, r);
	return partition(arr, p, r);
}

/*
 *	随机化高速排序
 *	期望时间复杂度为O(nlgn)
 */
void randomizedQuickSort(int *arr, int p, int r)
{
	if (p < r)
	{
		int q = randomizedPartition(arr, p, r);
		randomizedQuickSort(arr, p, q-1);
		randomizedQuickSort(arr, q+1, r);
	}
}

习题7-6 对区间的模糊排序。算法思想见 http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7681109，代码例如以下：

/*
 *	算法导论 第七章 习题7-6
 *	算法思想跟高速排序相似，仅仅是对于区间的划分处理有点差别
 *	时间复杂度也为O(nlgn)，
 *	在全部区间都有重叠时，就仅仅会进行一次划分，时间复杂度为O(n)
 */

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;

typedef struct Interval
{
	int a;//左端点
	int b;//右端点

	Interval(){}

	Interval(int x, int y)
	{
		a = x;
		b = y;
	}

	bool operator<(const Interval &interval)
	{
		return b < interval.a;
	}

	bool operator>(const Interval &interval)
	{
		return a > interval.b;
	}

	bool operator==(const Interval &interval)
	{
		return a<=interval.b && b>=interval.a;
	}

}Interval;

void printArray(Interval arr[], int len)
{
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		cout << "[" << arr[i].a << ", " << arr[i].b << "]" << " ";
	}
	cout << endl;
}

void quickSort(Interval arr[], int p, int r);
Interval partition(Interval arr[], int p, int r);
void exchange(Interval arr[], int i, int j);

int main()
{
	cout << "请输入区间个数：" << endl;
	int len;
	cin >> len;
	Interval *arr = new Interval[len];
	srand(time(NULL));
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		arr[i].a = rand() % 100;
		arr[i].b = rand() % 100;
		if (arr[i].a > arr[i].b)
		{
			int temp = arr[i].a;
			arr[i].a = arr[i].b;
			arr[i].b = temp;
		}
	}

	cout << "原区间数组：" << endl;
	printArray(arr, len);

	quickSort(arr, 0, len-1);

	cout << "模糊排序后的区间数组：" << endl;
	printArray(arr, len);

	return 0;
}

void quickSort(Interval arr[], int p, int r)
{
	if (p < r)
	{
		Interval q = partition(arr, p, r);
		if (q.a > p)
		{
			quickSort(arr, p, q.a);
		}

		if (q.b < r)
		{
			quickSort(arr, q.b, r);
		}
	}
}

Interval partition(Interval arr[], int p, int r)
{
	Interval pivot = arr[r];
	int i = p - 1;//i前面的（包含i）元素都是小于pivot的
	int j = r + 1;//j后面的（包含j）的元素都是大于pivot的
	int k = p;//i和k之间的元素师和pivot相等的，k和j之间的元素是还未比較的
	Interval divider(i, j);
	while (k<j & k<=r)
	{
		if (arr[k] < pivot)
		{
			i++;
			exchange(arr, i, k);
			k++;
		} else if (arr[k] > pivot) {
			j--;
			exchange(arr, k, j);
		} else {
			/*
			 *	假设相等，说明arr[k]和pivot的区间有重叠，则必须将枢纽点区间缩小，取arr[k]和pivot的重叠区间
			 *	否则就不能保证划分的准确性
			 *	比如区间[5, 9], [1, 7], [0, 3]，假设去pivot=[1, 7]。则[5, 9]和[0, 3]的顺序不会被交换。这是错误的
			 *	必须每次遇到重叠区间，就更新pivot
			 */
			pivot.a = max(pivot.a, arr[k].a);
			pivot.b = min(pivot.b, arr[k].b);
			k++;
		}
	}

	if (i > divider.a)
	{
		divider.a = i;
	}

	if (j < divider.b)
	{
		divider.b = j;
	}

	return divider;
}

void exchange(Interval arr[], int i, int j)
{
	Interval temp = arr[i];
	arr[i] = arr[j];
	arr[j] = temp;
}