长链剖分总结

概念

长链剖分和轻重链剖分十分相似，都是将一棵树节点的信息分成多条链的信息，但是前者是以深度剖分，后者则是以子树大小来剖分。

同时长链剖分还借鉴了$dsu\;on\;tree$的一些$trick$使得它能十分高效地合并子树信息。

性质

破天荒地写了证明

性质一

所有链长度之和为节点数

证明：

• 每个点在且仅在一条链中

性质二

任意一个点$k$级祖先所在长链的长度一定大于等于$k$

证明：

• 假如$y$所在长链的长度小于$k$，那么它所在的链一定不是重链，因为$x-y$这条链显然更优，那么$y$所在的重链长度至少为$k$，性质成立。否则 $y$ 所以在长链长度大于等于 $k$ ，性质成立。

性质三

任意一个点跳重链到根所用的次数不超过$\sqrt n$

证明：

• 根据性质二，如果一个点从当前链跳到另一条链上，另一条链的长度大雨当前链的长度
• 那么最坏情况为链长分别为$1,2,3...\sqrt n$共$\sqrt n$次

一些$trick$

一、高效计算$k$级祖先

首先对树进行长链剖分，记录每个节点所在的链的链顶，然后按深度记下每条链中的节点和这条链的长度个数个祖先，再预处理倍增数组代表$2^k$祖先。根据性质二，我们跳到节点的大于$\frac k2$次祖先，我们可以通过之前预处理出的链顶祖先中找到$k$及祖先，感性理解分析可得，第一次跳$highbit(k)$次祖先最快，复杂度$O(1)$

总复杂度$询问次数O(nlogn)+O(询问次数)$

二、快速合并以深度为下标的子树信息

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原文地址：https://www.cnblogs.com/heyujun/p/10228730.html