《University Calculus》-chape5-积分法-微积分基本定理

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的

一.第一中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点$\xi $,使得$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).(a\leqslant \xi \leqslant b)$ 二.微积分基本定理 积分上限函数:函数f(x)在区间[a,b]上连续,对于定积分$\int_{a}^{x}f(x)dx$每一个取值的x都有一个对应的定积分值.记作:$\Phi (x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 定理1: 定理2(原函数存在定理)

所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数,它是一种无限分割的方法,同积分法一样,它们是处理曲线和曲面的有利工具,也是一门很伟大的自然语言.微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言. 同样这里如果取单侧导数,那么能够证明该点单侧具有连续型.通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到,函数在某处不连续,在该处必然不可导.

前言:其实无穷序列和无穷级数和数列{an}以及我们接触微积分就给出的极限概念lim有着紧密的联系,它对于我们在具体的问题当中进行建模和数据分析有着非常重要的作用. 无穷序列: 最简单的一种说法,就是一个有无限项的数列{an}.由于其项数无限,我们就可以去分析随着数列下标n的增加,an的敛散性,这就和极限联系了起来.包括极限的运算法则夹层定理,在这里都有用武之地. 无穷级数: 一个很简单的说法,就是将无穷序列加和,然后分析其敛散性. 在不同的实际工程问题中我们将会面临不同的无穷级数,因此在这之前数

基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则),我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子,这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到,其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识.

平面曲线的长度: 积分的重要作用体现在处理曲线和曲面. 在这里我们讨论平面中一条用参数形式表达的曲线:x=f(t),y=g(t),a≤t≤b. 如图.

在分析等比级数的过程中,我们发现对于q<1的等比级数是收敛的,它表示级数每一项与它前一项的比值小于1,我们能否将这种方法推广起来用于一般级数的审敛呢? 从极限的定义出发:

1. (1) $$2 x \sqrt{1+x^4}$$ (2) $$-3 x^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^6}}$$ (3) \[ -e^{\cos^2 x} \sin x - e^{\sin^2 x} \cos x\] (4) \[ \left( \int_0^x (x-t)f(t)dt \right)' = \left ( x\int_0^x f(t) dt - \int_0^x tf(t) dt \right)'= \int_0^x f(t) dt +xf(x) - xf(x