九章算法面试题71 平方根

九章算法官网-原文网址

http://www.jiuzhang.com/problem/72/

题目

给定一个数，怎么样不用系统函数sqrt，可以求得它的平方根的答案。

在线测试本题

http://www.lintcode.com/en/problem/sqrtx/

解答

这道题目我们有两种方法:

方法一： 二分法。 我们知道假使y表示x的平方根的值，那么可以确定0<=y<x 的， 所以我们可以设一个min=0,max=x,然后每次用二分的方法求得mid=(min+max)/2，然后只要比较mid^2跟x比较，如果mid^2<x，那么max=mid继续二分，反之mid^2>x ,那么min=mid继续二分。直到找到一个mid使得它的平方最接近x就好。

方法二： 牛顿迭代法。 计算x^2 = n的解，令f(x)=x^2-n，相当于求解f(x)=0的解。首先先取一个点x0为一个较大的数, 如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1，看x1是不是解。如果不是，那么继续做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线与x轴的交点为x2，然后看x2是不是解。然后一直重复这个过程，经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f‘(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f‘(xi)。有了迭代公式，就可以用迭代公式无限逼近，求最后方程的解。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。